【正文】 ............................................................................................ 24 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性常見的錯(cuò)誤及分析 ................................................................. 26 .................................................................. 26 .......................................................................... 27 5 結(jié) 論 ........................................................................................................................................... 28 謝 辭 .............................................................................................................................................. 29 參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................................... 30 寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 1 1 引言 函數(shù)是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線 [1]， 它不僅是研 究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，而且涉及高中數(shù)學(xué)諸多的數(shù)學(xué)思 想和方法， 又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接部分 ． 為了描寫現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)．隨著對(duì)函數(shù)研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，而導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一．恩格斯說過： ＂ 在一切理論成就中，未必再有什么像 17 世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作是人類精神的最高勝利了，如果在某一個(gè)地方我們看到人類精神的純粹和唯一功績(jī)，那就是這里＂．導(dǎo)數(shù)是 課改以后 新教材中的新增內(nèi)容之一，在高中教材中起著承上啟下的作用： 承上是它的加入為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力，使中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法有了新的突破，它的應(yīng)用潛移默化的改善了學(xué)習(xí) 者的思維習(xí)慣；啟下是它的加入完善了高中階段教學(xué)內(nèi)容，使高中學(xué)生具有一般人才必備的基礎(chǔ)知識(shí)，為接下來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)作了必要的鋪墊， 同時(shí) 在中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間起著銜接作用． 本篇論文 從高中知識(shí)入手，從易到難，在題目中突出導(dǎo)數(shù)的作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題探究，突出導(dǎo)數(shù)在新課程以及在求函數(shù)單調(diào)性中具有的一切優(yōu)勢(shì)和作用． 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）是一個(gè)特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想．新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位 上升為分析和解決問題時(shí)的不可缺少的工具．函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法．近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題．本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作 了 初步探究． 本論文主要探究了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性及極值中的應(yīng)用，由于利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性往往運(yùn)算量很大，求解過程中需要很多變 形 技巧， 一般較為復(fù)雜 ，對(duì)于初學(xué)者而言 利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性 題目時(shí)往往半途而廢，失分率較 高 ， 這 對(duì)于大部分初學(xué)者來(lái)說很難攻克 [2]，但是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用卻極好的解決了上面的問題，在求解題目時(shí)，它具有運(yùn)算量小，簡(jiǎn)便快捷的優(yōu)勢(shì) [3]，因此導(dǎo)數(shù)成了分析和解決這類問題的有效工寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 2 具，并且人們將它廣泛應(yīng)用于函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明以及曲線切線的求解、函數(shù)的極值和最值等多個(gè)方面． 2 函數(shù)及其單調(diào)性 函數(shù)的定義 定義 1 設(shè) A ,B 均是非空的數(shù)集，若按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，對(duì) 于集合 A 中的每一個(gè)元素 x ，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f :A B? 為集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 )(xfy? , Ax? ,其中 x的取值范圍 A 稱為函數(shù)的定義域， )(xf 是函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛ )(39。 xf Ax? ｝B? 稱為函數(shù)的值域．由此可知函數(shù)是特殊的映射． 函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、周期性、 有界性、凹凸 性、極大值和極小值等，本篇論文主要討論函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的 極值． 定義 2 一般地，設(shè)函數(shù) )(xfy? 的定義域?yàn)?I ，若對(duì)于定義域 I 內(nèi)某一區(qū)間上任意兩個(gè)自變量 1x 和 2x ，當(dāng) 1x ? 2x 時(shí)，恒有 f (1x )? f ( 2x )，那么就說 )(xf在此區(qū)間上是增函數(shù)． 定義 3 一般地，設(shè)函數(shù) )(xfy? 的定義域?yàn)?I ，若對(duì)于定義域 I 內(nèi)某一區(qū)間上 任意兩個(gè)自變量 1x 和 2x ，當(dāng) 1x ? 2x 時(shí)，恒有 f (1x )? f ( 2x )，那么就說 )(xf在此區(qū)間上是減函數(shù)． 定義 4 若 )(xfy? 在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么就說函數(shù) )(xf 在這寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 3 個(gè)區(qū)間具有單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做函數(shù) )(xfy? 的單調(diào)區(qū)間． 下面通過簡(jiǎn)單的幾個(gè)例題 簡(jiǎn)單的 求 函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間： 例 1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . (1) xexf x ??? 1)( ； (2) xxxf ln)( ?? ． 解 (1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ),0( ?? 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為： )0,(?? (2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ),1( ?? 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為： )1,0( 這是函數(shù)的單調(diào)性定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，后面將應(yīng)用于大量的例題中． 定義 5 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 附近的所有點(diǎn)都有 )(xf ? )( 0xf ,則稱 )( 0xf 是函 數(shù) )(xf 的一個(gè)極大值，記作： )( 0xfy ?極大值 。 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱 0x 為極值點(diǎn)． 例 2 已知函數(shù) 1?x 是函數(shù) 1)1(3)( 23 ????? nxxmmxxf 的一個(gè)極值點(diǎn) ，其中 .0, ?? mRnm (1)求 m 與 n 的關(guān)系表達(dá)式； (2)求 )(xf 的單調(diào)區(qū)間； (3)當(dāng) ]1,1[??x 時(shí)，函數(shù) )(xfy? 的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于 3m ，求 m 的取值范圍． 解析 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性其主要題型以函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解、單調(diào)性的證明，求參變量的取值范圍為主．而熟 練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 4 題的突破口． 這類題目的解決，關(guān)鍵在于深刻理解并靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，第 1小題根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，可確定 m 與 n 的關(guān)系；第 2小題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可根據(jù)導(dǎo)數(shù)法得到，列出表格，答案一目了然；第 3小題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 解 (1) nmxmmxxf ?????? 3)1(63)( 2 由 1?x 是 )(xf 的一個(gè)極值點(diǎn) 知 0)1( ??f 即 0)1(63 ???? nmm 所以 63 ?? mn (2) 由 (1)可知 53)1(63)( 2 ?????? mxmmxxf )]21()[1(3 mxxm ???? 又 由 0?m 知 m211 ?? 當(dāng) x 變化時(shí)， )(xf 與 )(xf? 的變化如下： x )21,(m??? m21? )1,21( m? 1 ),1( ?? )(xf? 0? 0 0? 0 0? )(xf 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減 由上 表 可知 ： )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 和 )21,( m??? 上遞減 ； )(xf 在區(qū)間 在區(qū)間 )1,21( m? 上遞增 . (3) 由已知 條件 得 寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 5 )(xf? m3? 即 02)1(22 ???? mmx 即當(dāng) 11 ??? x 時(shí)有 02)11(22 ???? mxmx ① 設(shè) mxmxxg 2)11(2)( 2 ???? 此函數(shù)開口向上 ,由題意知①式恒成立 所以 ??? ??? 。當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0)( ?? xf 因此 )(xf 的單調(diào)增區(qū)間是 ),1( ?? ；單調(diào)減區(qū)間是 )1,0( ． 顯然此函數(shù)在 ),0( ?? 上不具備單調(diào)性，若利用單調(diào)性的定義來(lái)解，需找出恰當(dāng)?shù)呐R界值（點(diǎn) 1?x ），但找這個(gè)臨界值 對(duì) 大部分 初學(xué)者 還是比較困難．如果利用導(dǎo)數(shù)，則簡(jiǎn)單得多． 例 10 證明函數(shù)2)2( 4)( ??? xxxf在 )4,2( 上是減函數(shù)． 解 法 一 （定義法） 設(shè) 42 21 ??? xx 則 2221 2122211221 )2()2( )]4(4)2()2)[(()()( ?? ???????? xx xxxxxxxfxf 在 )4,2( 上由均值不等式 得 寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 22 ]64)4[(164)4(424)x(x)4(4)2()2(32121214421212221????????????????xxxxxxxxxx 因?yàn)?1x , 2x ? )4,2( 所以 064)4( 321 ???? xx 因此 0)()( 12 ?? xfxf 故函數(shù)在 )4,2( 上是減函數(shù)． 解法二 （導(dǎo)數(shù)法） 因?yàn)? 3)2( 81)( ???? xxf 當(dāng) 42 ??x 時(shí)， 8)2(0 3 ??? x , 所以 1)2( 8 3 ??x 所以 1 0)2( 8 3 ??x 即 ( ) 0fx? ? 所以2)2( 4)( ??? xxxf在 )4,2( 上是減函數(shù) , 由此 可見用導(dǎo)數(shù)法比用定義法要簡(jiǎn)單得多 . 例 11 求實(shí)數(shù) a ，使得函數(shù) axxxf ??? 1)( 2 在 ),0( ?? 上具有單調(diào)性． 寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 23 解 ax xaxxxf ?????????12)1