了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,-在線瀏覽
2024-12-02 15:55本頁面
【正文】 R上的奇函數(shù) ， 且 f(1)＝ 0， f′(1)＝ 2. (1)求 a、 c、 d的值； (2)在 y＝ f(x)的圖象 C上任取一點(diǎn) P， 在點(diǎn) P處的切線 l與曲線 C的另一個交 點(diǎn)為 Q， 設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t， 線段 PQ的中點(diǎn) R的縱坐標(biāo)為 u. ① 用 t表示 u； ② 當(dāng) t0時 ， 求 u的最大值 ． 解答： (1)∵ f(x)＝ ax3＋ cx＋ d， ∴ f′(x)＝ 3ax2＋ c. 根據(jù)已知 條件 即 解得 (2)由 f(x)＝ x3－ x， f′(x)＝ 3x2－ 1， P點(diǎn)坐標(biāo) (t， t3－ t)， ①② 聯(lián)立整理得 (x－ t)2(x＋ 2t)＝ 0， 則 Q點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 2t， － 8t3＋ 2t)， 要注意區(qū)分函數(shù)最大 (小 )值與函數(shù)極值的區(qū)別、聯(lián)系．函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，是局部性概念，而函數(shù)的最大 (小 )值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，是對整個定義域而言的．在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)函數(shù) f(x)的最大 (小 )值，是開區(qū)間 (a， b)內(nèi)所有極大 (小 )值與 f(a)、 f(b)中的最大 (小 )值． 【 例 3】 請您設(shè)計(jì)一個帳篷，它下部的形狀是高為 1 m的正六棱柱，上部的形狀 是側(cè)棱長為 3 m的正六棱錐 (如圖所示 )．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) O到底面中心 O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 解答： 由題圖 ， 設(shè) OO1為 x m， 則 1x4. 由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為 (單位 ： m)： 于是底面正六邊形的面積為 (單位 ： m2)： 帳篷的體積為 (單位 ： m3)： 求導(dǎo)數(shù)，得 令 V′(x)＝ 0， 解得 x＝－ 2(不合題意，舍去 )， x＝ 2. 當(dāng) 1x2時 ， V′(x)0， V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2x4時 ， V′(x)0， V(x)為減函數(shù) ． 所以當(dāng) x＝ 2時 ， V(x)最大．當(dāng) OO1為 2 m時，帳篷的體積最大 . 1． 在利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性時要注意結(jié)論 “ 若 y＝ f(x)在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo) ， 且 f′(x)＞ 0， 則 f(x)在區(qū)間 (a， b)上是增函數(shù) ” 的使用方法 ． 此結(jié)論并非充要 條件如 f(x)＝ (－ ∞， ＋ ∞)上是遞增的 ， 但 f′(0)＝ 0；因此已知函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間求函數(shù)關(guān)系式中字母范圍時 ， 要對 f′(x)＝ 0處的點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn) ． 2． 若函數(shù) f(x)在 [a， b]上連續(xù) ， 在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo) ， 求 f(x)在 [a， b]上的最大值與最 小值的步驟如下： (1)求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的極值； (2)將 f(x)的各極值與 f(a)， f(b)比較其中最大的是最大值 ， 最小的是最小值； (3)特
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