淺談函數(shù)極值的求法及應用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-10-29 10:55本頁面
【正文】 值，0)( 0)( ?xf n 時取 得 極小值。 （四）一元函數(shù)求極值的現(xiàn)實應用 例 1 把 一批貨物從 河邊上 A 城運往 距 離河 aBC? km 的 B 城（見圖 1），輪船運費 單價 為 ? 元 /km，火車運費 單價 為 ? 元 /km（ ??? ） ,問若在 河邊 一點 M 處 ， 建筑 鐵路 MB，怎樣才能使總運費最少 。 總 運費 22)()( xaxdxL ???? ?? 由 0)( ?? xL ，得 022 ???? xa x?? ， 22222 )( ??? ax ?? ， 220 ????? ax 。 所以 M 點選在距 離 C 點 22 ?? ??a km 處時修建鐵路，總運費可達到最少 。 二、 多元函數(shù)極值的求法 （一）多元函數(shù)的簡單介紹 B M A B 4 定義 2 已知 nRD? 是一 開區(qū)域， )(xf 是 D 上的函數(shù)， Dxxxx n ?? ), . . . . . . ,( 002020 。 定理 5 如果點 0x 是 函數(shù) f 的極值點， 并 且 f 在 0x 點有 偏導 數(shù) ， 那么， f 在 0x 點的 一階偏導數(shù)都等于 零，即 ? ? ? ? 0)(... 000 21 ???? xfxfxf nxxx 定理 6（多元函數(shù)極值的充分條件） 如果 n 元函數(shù) )(xf 在 ),......,( 002020 nxxxx ? 點 附近具有二階連續(xù)偏導數(shù)， 并 且 0x 是 ??xf 的駐點。 記 )( 0xfajixxij ?，并記 ?????????????kkkknnkaaaaaaaaaA??????212222111211 它稱為 f 的 k 階 Hesse 矩陣。 —— “牧童”經(jīng)濟模型 5 這是一個經(jīng)濟學家們非常熟悉的經(jīng)濟模型，它指的是 ，如果一種資源 得不到 適當?shù)墓芾恚?那么這種資源 就會被 過度使用。每年春天，他們都要決定養(yǎng)多少只羊。 如果我們將每只羊的平均價值表示為 V ，那么 V 就可 以看作總羊數(shù) X 的函數(shù)，即 )(XVV? ，其中 ???ni ixX 1。設 maxX 最大 容納 量，則當 maxXX? 時， 0)( ?XV ；而當 maxXX? 時，我們 認為 0)( ?XV 。 它的變化趨勢如圖 2 所示。 如果購買一只羊的價值為 c ，則第 i 個牧民將得到的利潤就為 cxxVxcxXVxxxxP ini iiiini ???? ?? )()(),...,( 121 ， ni ,...,2,1? 。 即使 得每個牧民獲 得最大利潤的羊的 數(shù)目（最優(yōu)飼養(yǎng)量） ix （ ni ,...,2,1? ）必是 此 方程組的解， 我們稱 為最優(yōu)解。 從一階最優(yōu)化條件 我們還能得到 ，第 i 個牧民 的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ix 是受其他牧民的飼養(yǎng)數(shù)目影響的，因此 我們 可以認為這樣的 ix 是 ),...,2,1( ijnjx j ?? 的函數(shù)，即 ),...,...,( 111 niiii xxxxxx ??? ，我們稱其 為反應函數(shù)。 所以 0)()( )()(2 ????? ???????? XVxXV XVxXVxx i iji 。 解方程組（ *）就 可以得到每一個牧民的最優(yōu) 飼養(yǎng)量 *ix ， ni ,...,2,1? 。因此這樣 得出的所以牧民最優(yōu) 飼養(yǎng)量的總和 ???ni ixX 1** 并不一定是整個牧場 總的最優(yōu) 飼養(yǎng)量。 它的一階最優(yōu)化條件為 0)()( ???? cXVXXV 。那么 ， 0)()( ****** ???? cXVXXV 。 通過將以上兩式 相比較，利用 )(XV 和 )(XV? 的單調(diào)減少性質就 能 得到 *** XX ? ，即個人最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和 比 整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量 要大 。這就是 得不到 管理的公共資源的悲?。?Tragedy of Commons）。 （二）多元函數(shù)條件極值 條件極值問題是 指 在條件組 0),...,( 21 ?nk xxx? ， )(,...,2,1 nmmk ?? 的限制下，求目標函數(shù) ),...,( 21 nxxxfy ? 的極值。 數(shù)乘法 我們 以二元函數(shù)為例 來說，想要求 函數(shù) ),( yxfz? 的極值，其中 ),( yx 受 約束 條件 0),(: ?yxC ? ○ 1 的限制。所以 由 f 在 點 0P 可微， g在 點 0x 可微， 我們就 得到 8 0)(),(),()( 000000 ????? xgyxfyxfxh yx 。 ○ 3 把 ○ 3 代入 ○ 2 后又 可以 得到 0)()()()( 0000 ?? PPfPPf xyyx ?? 。這種方法 就是 Lagrange 數(shù)乘法。 數(shù)乘法的步驟 由二階函數(shù)的 Lagrange 數(shù)乘法我們總結出多元函數(shù) Lagrange 數(shù)乘法的步驟如下： （ 1）確定目標函數(shù)和條件組； 9 （ 2）作 Lagrange 函數(shù) ????mk nkmn xxxfxxxL 1 21121 ),...,(1(),...,...,( ???，其中 k? 的個數(shù)為條件組的個數(shù)； （ 3）求 Lagrange 函數(shù)的穩(wěn)定點 ?????????????? ?? mjLnixfLxjmk ikkxiii, . . . ,2,10, . . . ,2,101???? （ 4）對每個穩(wěn)定點（可能的極值點）據(jù)理說明是否為條件極值點。 若 將 Lagrange 乘數(shù)法推廣到一般情形。 定理 9 設點 ),...,( 002020 nxxxx ? 及 m 個常數(shù) m??? ,..., 21 滿足方程組（ *），那么 當方陣 nnnlkxxx L????????? ??? ??? , . . . ,( 2102 10 為
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