畢業(yè)論文_多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用-在線(xiàn)瀏覽
2025-08-04 21:19本頁(yè)面
【正文】 (4) 這個(gè)關(guān)于 z 的二次方程要有實(shí)數(shù)解 ,必須 2216 36( 5 ) 0ff? ? ? ? ?, 即 290f?? 解此關(guān)于 f 的二次不等式 ,得 33f? ? ? . 所以 max 3f ? , min 3f ?? . 把 3f? 代入 (4),得 23z? 再把 3f? , 23z? 代入 (1),得 13x? , 最后把 3f? , 23z? , 13x? 代入 1 ( 2 )2y x z f? ? ?,得 23y?? . 所以 ,當(dāng) 13x? , 23y?? , 23z? 時(shí) ,函數(shù) f 達(dá)到極大值 3. 同理可得 ,當(dāng) 13x? , 23y? , 23z?? 時(shí) ,函數(shù) f 達(dá)到極小值 3. 也可以從 (3)作類(lèi)似討論得出 f 的極大值 3 和極小值 3. 梯度法 [6] 用梯度法求目標(biāo)函數(shù) 12( , , )nf x x x 在條件函數(shù)時(shí) 12( , , , ) 0inx x x? ? ( 1, 2 , , , )i m m n??組限制下的極值，方程組 1 2 1 2112( , , , ) ( , , , )( , , , ) 0 , ( 1 , 2 , , )mn i i niingradf x x x grad x x xx x x i m????? ???????? 的解 ,就是所求極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn) . 其中 gradf 表示目標(biāo)函數(shù) 12( , , )nf x x x 的梯度向量12( , , , )nf f fx x x? ? ?? ? ?， 9 igrad? 表示條件函數(shù) 12( , , , )inx x x? 的梯度向量12( , , , )i i inx x x? ? ?? ? ?? ? ? 例 從斜邊之長(zhǎng)為 l 的一切直角三角形中 ,求最大周長(zhǎng)的直角三角形 . 解 :設(shè)兩條直角邊為 ,xy,本題的實(shí)質(zhì)是求 ( , )f x y x y l? ? ?在條件 2 2 2xyl?? 下的極值問(wèn)題 . 根據(jù)梯度法 ,列出方程組 2 2 22 2 2( ) ( )g r a d x y l g r a d x y lxyl?? ? ? ? ? ??????? 進(jìn)一步求解得 ? ? ? ?2 2 21,1 2 , 2xyxyl????????? 容易解出2lxy?? 根據(jù)題意 ,22ll??????是唯一的極大值點(diǎn) ,也是最大值點(diǎn) . 所以，當(dāng)兩條直角邊都為2l時(shí) ,直角三角形的周長(zhǎng)最大 . 數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線(xiàn)的截距，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值 . 例 設(shè) 2219x xy y? ? ? ，求 22xy? 的最值 . 解法一 數(shù)形結(jié)合法 [7] 解 設(shè) ,x u v y u v? ? ? ? 則 2 2 23 19x xy y u v? ? ? ? ?， 即 2222 119 ( 19 )()3uv?? 2 2 2 22( )x y u v? ? ?表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的 2 倍 顯然最大值為長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 38，最小值為 383 10 解法二 消元法 解 設(shè) cosxr?? ， sinyr?? ， 則 2 2 2 1(1 si n 2 ) 1 92x x y y r ?? ? ? ? ? 2 2 2 1911 s in 22x y r ?? ? ? ? 故當(dāng) sin2 1?? ，即 193xy??時(shí)， 22383xy??達(dá)到最小值 . 當(dāng) sin2 1??? ，即 19xy?? ?? 時(shí)， 2238xy??達(dá)到最大值 . 解法三 均值不等式法 解 （ 1）若 0, 0,xy??注意到 222xyxy ?? 當(dāng)且僅當(dāng) xy? 時(shí)等號(hào)成立 因此： 222 2 2 20 1 9 1 92xyx x y y x y ?? ? ? ? ? ? ? ?， 當(dāng)且僅當(dāng) xy? 時(shí)等號(hào)成立 即 223 ( ) 192 xy?? 故 22383xy?? ，此時(shí) 193xy?? （ 2）若 0, 0xy??，設(shè) yu?? ，則問(wèn)題變?yōu)?2219x xu u? ? ? 求 22xu? 的最值 由于 222xuxu ?? ， 所以 2 2 2 22 2 2 222x u x ux x u u x u??? ? ? ? ? ? 因此 2 2 2 22( ) 38x u x x u u? ? ? ? ? 即最大值為 38 （ 3）若 0, 0xy??，做變換 ,x u y v?? ?? ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（ 1） （ 4）若 0, 0xy??，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（ 2） 解法四 拉格朗日乘數(shù)法 11 解 設(shè) 2 2 2 2( , , ) ( 19)F x y x y x x y y??? ? ? ? ? ? 令 222 ( 2 ) 02 ( 2 ) 019 0F x x yxF y y xyF x xy y???? ?? ? ? ?????? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? 則 22xy? 若 xy? ，則 23 19x ? ， 193xy?? 此時(shí) 22383xy??； 若 xy?? ，則 2 19x? ， 19xy?? ? 或 19xy?? ?? 此時(shí) 2238xy?? 從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過(guò)程都比較繁瑣，但通過(guò)數(shù)形結(jié)合法和消元法法都可以簡(jiǎn)捷地求得結(jié)果 .所以在解條件極值問(wèn)題時(shí)，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最 合適的解題方法，從而提高解題效率 . 5. 多元函數(shù)條件極值在理論和實(shí)際中的應(yīng)用舉例 多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷(xiāo)售、證券投資分析、多元統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和主成分分析等問(wèn)題上都有廣泛的應(yīng)用 .由于本人其余學(xué)科知識(shí)和時(shí)間上的限制，不能很好地展開(kāi)條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問(wèn)題，具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn) [8]和文獻(xiàn) [9]，下面只討論條件極值在不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷(xiāo)售上的應(yīng)用 . 不等式證明 例 證明不等式： l n 0 , ( 1 , 0)ye x x x x y x y? ? ? ? ? ?. 證 令 ( , ) lnyf x y e x x x xy? ? ? ?，則只需證明 函數(shù) ( , )f xy 在區(qū)域 { ( , ) | 1, 0 }D x y x y? ? ?上存在最小值 0 ， 對(duì)于 1x? ，令 ( , ) 0yyf x y e x? ? ?， 得 lnyx? ，且當(dāng) 0 lnyx?? 時(shí)， ( , ) 0yf x y ? 當(dāng) lnyx? 時(shí)， ( , ) 0yf x y ? . 由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法， lnyx? 為最小值點(diǎn)， 即在曲線(xiàn) lnyx? 上 ( , )f xy 取得最小值， 12 最小值 ln( , l n ) l n l n 0x
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