【正文】 息相關(guān)，而這些都離不開(kāi)方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！ 而且為了更好的讓人們?nèi)ミ\(yùn)用這些方程式，各國(guó)的數(shù)學(xué)家發(fā)明了很多的方法來(lái)解方程式，譬如：待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、不動(dòng)點(diǎn)法諸如此類(lèi)等等解法。 當(dāng)然，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常常會(huì)遇到相關(guān)的函數(shù)方程問(wèn)題，關(guān)于這類(lèi)問(wèn)題，主要是函數(shù)方程直接解決一個(gè)給定的或根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，然后解決其他擴(kuò)展名列表的功能。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 7 2 一類(lèi)函數(shù)方程的解法 待定系數(shù)法 待定系數(shù)的方法中，是一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個(gè)身份，然后方程或方程系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過(guò)求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦 或 是 找出某些系數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式 。 函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為 （ 1）確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式； （ 2） 借用 恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程； （ 3）解方程或消去待定系數(shù) 例 已知 )(xf 是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足 12)(2)1(3 2 ????? xxxfxf ，求 )( xf 解析式。 解：由題意可知 根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構(gòu)，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個(gè)是被確定的一個(gè)常數(shù)。 定義在正整數(shù)的函數(shù)方程，方程是基于遞歸形式給出，我們可以用遞歸的方法解決，從函數(shù)方程解的要求出發(fā)，從簡(jiǎn)單的情況下，復(fù)發(fā)，派生方程出發(fā)。 遞歸的方法包括兩個(gè)方面，一方面是在為特征函數(shù)方程遞歸表達(dá)式的形式，另一種是用遞歸 序列表達(dá)式函數(shù)方程的一種形式。遞歸（或遞推）是解決函數(shù)方程的重要方法。 （ 4）、由遞歸公式 ?遞 歸方程 ? 特征根 ? （定理）求解 例 已知 51)1( ?f ，且當(dāng) n1， Nn? 時(shí)，有)(21 1)1(2)( )1( nfnnfnfnf ? ????求 )(nf 解：把遞推公式進(jìn)行整理得： )1()()1(2)()1( ????? nfnfnnfnf 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 10 所以 )1(2)1( 1)(1 ???? nnfnf 令 ,...,4,3,2 kn ? 得 3*2)1(1)2(1 ?? ff 4*2)2(1)3(1 ?? ff 5*2)3(1)4(1 ?? ff ? ? ? )1(*2)1( 1)(1 ???? kkfkf k 個(gè)等式相加得 )4)(1()]1(543[*2)1(1)(1 ?????????? kkkfkf ? 所以 13)(1 2 ??? kkkf 故 131)(2 ??? nnnf 例 對(duì)于 Nx? ，有 Nxf ?)( 且 xyyfxfyxf ???? )()()( ， 1)1( ?f ，求 )(xf ? 解：由題意可知 令 1, ?? ytx 得 tftftf ???? )1()()1( 所以 1)()1( ???? ttftf 所以 2)1()2( ?? ff 3)2()3( ?? ff 4)3()4( ?? ff ? ? ? xxfxf ??? )1()( 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 11 累加得 2 )2)(1(32)1()( ???????? xxxfxf ? 所以 2)( 2 xxxf ?? 例 已知 0)1( ?f ， 1)2( ?f 解函數(shù)方程 )()1(2)2( nfnfnf ???? 解： 由題意可知 )()1()1()2( nfnfnfnf ?????? 所以 )2()1()1()( ?????? kfkfkfkf )3()2()2()1( ??????? kfkfkfkf ? ? ? ? )1()2()2()3( ffff ??? 累加得 1)1()( ??? kfkf 所以 1)1()( ??? nfnf 1)2()1( ???? nfnf ? ? ? 1)1()2( ?? ff 累加得 1)1()( ??? nfnf 所以 1)( ??nnf 換元法 函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式去用一個(gè)新的變量（中間 變量）去替換，這樣的方法稱(chēng)之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數(shù)之間的關(guān)系，以及由此得到的函數(shù)式是用于解決函數(shù)方程的基本方法之一。 例 設(shè) )0(11 ????????? ? xxxxf求解 ? ?1?xf 。 解 : 令 )0(3 ?? tt x ，則 tx 3log? 于是 ? ? )0(),c o s ( l o g)( l o g 333 ??? ttttf 用 x換 t，得 ? ? )0(),c o s ( l o gl o g 333 ??? xtxxf 換元法是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式作為一個(gè)整體，用另一個(gè)字母替代這部分 的一部分。此種方法的好處便在于，使得精神上的數(shù)學(xué)思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬(wàn)不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。 第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè) )(nT 是關(guān)于 Nn? 的一個(gè)命題 （ 1）若 )1(T 成立。 任何非空集合的自然數(shù)必須擁有最大數(shù)量（原則的最大數(shù)目） 產(chǎn)生第二數(shù)學(xué)歸納法： 1） 若 )1(f 成立 2） 假設(shè) rn? 時(shí) )(nf 成立，若 )1( ?rf 也成立，則 )(nf 對(duì)? 例 已知 xnfxnf s in)1(c o s)( ??? ，其中 xf co)1( ? . ]2,0[ π?x ， n 是自然數(shù)，試解出這個(gè)函數(shù)方程。當(dāng) 2?n 時(shí)，))1(()( ?? ngfng 試求出 )(ng 解：由題意可知：當(dāng) 2?n 時(shí)， ))1(()( ?? ngfng 123)1( 2 ???g 127)3())1(()2( 3 ????? fgfg 1215)7())2(()3( 4 ????? fgfg 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 14 ??????? . 所以由上我們猜想可得出 12)( 1 ?? ?nng 那么我們用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí) 314)1( ???g 猜想成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)猜想成立，即 12)( 1 ?? ?kkg 當(dāng) 1??kn 時(shí)， 121)12(2)12())(()1( 211 ????????? ??? kkkfkgfkg 綜上所述 得證 Nnng n ???? ? ,12)( 1 利用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候我們一定要先利用列舉法猜出函數(shù)關(guān)系式，然后通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法看自變量為 1的時(shí)候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們?cè)俅瘟钭宰兞繛?k的時(shí)候猜想必成立，再進(jìn)一步求解，看是否當(dāng)自變量為 k+1時(shí)猜想是否成立，成立則我們的猜想是正確的。 例 解函數(shù)方程 ? ? )1,0(,1 ?????????? xxcxxbfxaf（其中 a、 b、 c為直角三角形的三邊， a是斜邊長(zhǎng)）（ 79年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題改） 解：由題意可知 ? ?xcxbfxaf 11 ???????? ?????????? （ 1） ? ? cxxbfxaf ???????? 1 ???????????? （ 2） 由（ 1） *b得 ? ? xbcxfbxabf 11 2 ???????? ?????????? （ 3） 由（ 2） *a得 ? ? ac xxabfxfa ???????? 12??????????? （ 4） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 15 由（ 4） (3)得 ? ? ? ? ? ?x cbaxxfbxfa ??? 222 所以)( )()( 222bax cbaxxf ??? 又因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為 a、 b、 c，其中 a是斜邊長(zhǎng) 則 xc baxxc cbaxxf )()()( 222 ???? ? ?10 ?? xx 且 例 ??xf 是定義在 ? ???,0 的實(shí)值函數(shù)，且 2ln)()1( ?? xxfxf ，求 ??xf 。 反證法 反證法又稱(chēng)歸謬法、背理法，是一種論證方式，我們先假設(shè)一個(gè)命題是假的（也就是在原來(lái)的命題的條件下，得到的結(jié)論不成立），然后我們?cè)谶@個(gè)基礎(chǔ)上取推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)我們?cè)瓉?lái)假設(shè)的命題不成立，那么原命題得證。 ? ? ? ? xbcac xxfbxabfxabfxfa 111 22 ???????? ???????????????池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 16 （ 2）我們?cè)購(gòu)倪@個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的推理證明得出相互矛盾的條件。 例 已知函數(shù)12)( ???? xxaxf x且 0?a ，函數(shù) )(xf 的單調(diào)增區(qū)間是 ? ????,1 ，求證函數(shù) ? ? 0?xf 沒(méi)有負(fù)數(shù)根。反證法可以解決一些我們看似無(wú)能為力的題目。 不動(dòng)點(diǎn)法 如果設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在使得這個(gè)條件成立，則稱(chēng)為此點(diǎn)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家不勞威爾提出來(lái)的。運(yùn)用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求解函數(shù)方程也是一 個(gè)重要且有效地?cái)?shù)學(xué)方法。 解：由題意可知 令 162 ??? xxx 則 062 ???xx 解得 21 ??x ， 32?x 所以 21 ??x ， 32?x 是 162)( ??? xxxf 的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 184216221 ????????? nnnnn aaaaa （ 1） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 17 1 3316231 ?????????? n nnnn aaaaa （ 2） （ 1） ? （ 2）得 3243211 ???????? nnnn aaaa 所以數(shù)列?????? ??32nnaa 是以 4為首項(xiàng)， 4為公比的等比數(shù)列 所以 nnnnaa )4()4(432 1 ??????? ? 所以 1)4( 2)4(3 ?? ??? nnna 函數(shù)方程的題目解法技巧性較強(qiáng)，抽象性較高，所以不動(dòng)點(diǎn)法也是我們求解函數(shù)方程時(shí)一種常見(jiàn)的方法。 必須注意的是 。 例 試求 ? ? ? ? ? ?yfxfyxfRy