【正文】 )3(1)4(1 ?? ff ? ? ? )1(*2)1( 1)(1 ???? kkfkf k 個(gè)等式相加得 )4)(1()]1(543[*2)1(1)(1 ?????????? kkkfkf ? 所以 13)(1 2 ??? kkkf 故 131)(2 ??? nnnf 例 對(duì)于 Nx? ，有 Nxf ?)( 且 xyyfxfyxf ???? )()()( ， 1)1( ?f ，求 )(xf ? 解：由題意可知 令 1, ?? ytx 得 tftftf ???? )1()()1( 所以 1)()1( ???? ttftf 所以 2)1()2( ?? ff 3)2()3( ?? ff 4)3()4( ?? ff ? ? ? xxfxf ??? )1()( 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 11 累加得 2 )2)(1(32)1()( ???????? xxxfxf ? 所以 2)( 2 xxxf ?? 例 已知 0)1( ?f ， 1)2( ?f 解函數(shù)方程 )()1(2)2( nfnfnf ???? 解： 由題意可知 )()1()1()2( nfnfnfnf ?????? 所以 )2()1()1()( ?????? kfkfkfkf )3()2()2()1( ??????? kfkfkfkf ? ? ? ? )1()2()2()3( ffff ??? 累加得 1)1()( ??? kfkf 所以 1)1()( ??? nfnf 1)2()1( ???? nfnf ? ? ? 1)1()2( ?? ff 累加得 1)1()( ??? nfnf 所以 1)( ??nnf 換元法 函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式去用一個(gè)新的變量（中間 變量）去替換，這樣的方法稱之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數(shù)之間的關(guān)系，以及由此得到的函數(shù)式是用于解決函數(shù)方程的基本方法之一。 遞歸的方法包括兩個(gè)方面，一方面是在為特征函數(shù)方程遞歸表達(dá)式的形式，另一種是用遞歸 序列表達(dá)式函數(shù)方程的一種形式。 解：由題意可知 根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構(gòu)，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個(gè)是被確定的一個(gè)常數(shù)。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 7 2 一類函數(shù)方程的解法 待定系數(shù)法 待定系數(shù)的方法中，是一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個(gè)身份，然后方程或方程系數(shù)應(yīng)滿足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過(guò)求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦 或 是 找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式 。 軌道的設(shè)計(jì)、電腦數(shù)字的運(yùn)用、住房材 料的精確設(shè)計(jì)、小到平時(shí)生活中開(kāi)銷(xiāo)計(jì)算，大到一座高樓大廈的細(xì)枝末節(jié)，無(wú)一不予我們的方程式息息相關(guān)，而這些都離不開(kāi)方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！ 而且為了更好的讓人們?nèi)ミ\(yùn)用這些方程式，各國(guó)的數(shù)學(xué)家發(fā)明了很多的方法來(lái)解方程式，譬如：待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、不動(dòng)點(diǎn)法諸如此類等等解法。然而無(wú)論如何去解方程式，隨著時(shí)代的變遷，歷史的更迭，人們卻總能發(fā)現(xiàn)更好更不一樣的 解方程式的方法，以及各式各樣的方程式。s method Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 6 前言 數(shù)學(xué)素來(lái)是一門(mén)很有知識(shí)的學(xué)問(wèn)。 函數(shù)方程： ? ? )()(2)( yfxfyxfyxf ???? 也在 1721 年被數(shù)學(xué)柯西求出。本人在論文寫(xiě)作中參考的其他個(gè)人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標(biāo)明。本人依法享有和承擔(dān)由此論文而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任。 其通解（此方程是達(dá)朗貝爾于 1769 年論證力的合成法則時(shí)導(dǎo)出的）這種方法被后人稱為柯西方法。之所以知識(shí)是因?yàn)?，自古就有這樣的一句話 ——學(xué)習(xí)科學(xué)，無(wú)處不在！數(shù)學(xué)一直都是遙遙的處于翹首之位。不僅在一定程度上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學(xué)習(xí)空間。不同的方程式適應(yīng)于不同的解法，總是會(huì)有一種解法更加的適合，同樣會(huì)有一種解法更加的簡(jiǎn)單，而我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中主要的任務(wù)，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運(yùn)用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好 、更快、用最合適的方法去解方程式。 在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運(yùn)用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因?yàn)榇耸亲詈?jiǎn)單的方法。 所以 )(4)(3)(2 xfxafxfa ?? . 0)()43( 2 ??? xfaa . 而 0)( ?xf 所以 0432 ??? aa ，解得 11 ??a ， 42?a . 再設(shè)原方程的解為 xxxx BABaAaxf 4*)1(*)( 21 ????? （其中 A,， B是常數(shù)） 又由 0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f 得 ??? ??? ?? 94 1BABA 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 9 所以 ??? ???21BA 所以 xxxf 42)1()1()( ?????? . 我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式，然后通過(guò)已知條件求解出函數(shù)解析式。 設(shè) )(xf 是定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù)， af ?)1( (確定常數(shù) )，如果存在一個(gè)遞歸（或遞推）關(guān)系 S，當(dāng)知道了前面 k 項(xiàng)的值 )1( ?nf ， ....,3,2,1 kt ? 由 S可唯一確定 )1( ??knf的值，那么稱 )(nf 為 k 階遞歸函數(shù)。函數(shù)方程的適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，新的方程，從而得到方程的解。換元法的好處便是在于使式子得到簡(jiǎn)化，從而使得各項(xiàng)關(guān)系在容易明了的基礎(chǔ)上，使得問(wèn)題在一定程度上更好的得到解決。 （ 2） （遞推）假設(shè) )(rT 成立，若 )1( ?rT 成立，則 )(nT 對(duì)所有的自然數(shù)都會(huì)成立的。 解方程組法 方程的解是變量的函數(shù)方程（或關(guān)系）適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q（有時(shí)需要幾個(gè)替代） ,得到一個(gè)（或者幾個(gè)）新的函數(shù)方程，然后再與原來(lái)的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù) )(xf ，那么我們就可以得出所求的函數(shù)方程的解。 步驟 :(1)假設(shè)一個(gè)命題的結(jié)論是假的，也 就是說(shuō)假設(shè)結(jié)論的反面成立。 解：由題意可知 假設(shè) 012 ???? xxax有負(fù)數(shù)根 0x ，而 10 ??x 因?yàn)? 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數(shù) )(xf 在 ),1( ??? 是增函數(shù) 所以 00?x 這個(gè)與假設(shè) 0x 為負(fù)數(shù)根相矛盾 所以 這個(gè)假設(shè)不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒(méi)有負(fù)數(shù)根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。如果用圖像的話來(lái)說(shuō)，不動(dòng)點(diǎn)就是意味著函數(shù)與直線有公共點(diǎn)且這個(gè)公共點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。 柯西法 柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說(shuō)首先求出自變量取自然數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解，然后我們依次讓自變量取一切自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)，最后取一切實(shí)數(shù)值時(shí)，如果這個(gè)方程都成立，那么它就是函數(shù)方程的解。那么這 個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解。 參數(shù)法 如果函數(shù)的未知數(shù)比較多的話，我們?yōu)榱饲蠼夂?jiǎn)便，有時(shí)我們可以在此基礎(chǔ)上增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便更好地去溝通數(shù)量關(guān)系，這樣的方法叫做設(shè)參數(shù)法； 我們運(yùn)用參數(shù)法去解函數(shù)方程時(shí)，它的基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解； 例 已知 xxf 2s in5)c o s2( ??? ，求 )(xf 解：由題意可知我們?cè)O(shè)所求函數(shù) )(xfy? 的參數(shù)表達(dá)式為： ??? ?? ?? ty tx2sin5cos2 所以 ??? ?? ?? xt yt 2cos 5sin 2 所以 22 )2(cos xt ?? 所以 15)2(s i nc o s 222 ?????? yxtt 即 842 ??? xxy ， 即 84)( 2 ??? xxxf ， ]3,1[?x 在利用參數(shù)法解函數(shù)關(guān)系式的時(shí)候，一定要先引入?yún)?shù)，然后通過(guò)轉(zhuǎn)換去消去已有的參數(shù)，再求得函數(shù)解析式。但是，這只能獲得給定的值，所以我們可以繼續(xù)做推論已獲得并證明。 構(gòu)造法 構(gòu)造法是創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，它與方法的結(jié)構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題，是反映構(gòu)造法的精髓，是指導(dǎo)構(gòu)造法的靈魂，構(gòu)造法是使用方法的具體手段，實(shí)施這一方法，它全面滲透納悶，抽象，概括和歸納，類比等重要的數(shù)學(xué)方法。我們知道，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題可被視為已知的和未知的數(shù)學(xué)對(duì)象，集合的數(shù)學(xué)關(guān)系，即作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 解：由題意可知 21)1( ??f 又 ]1)([22)(21)1( ?????? xfxfxf 所以 21)( 1)1( ????xfxf 這個(gè)可以構(gòu)造出是首相為 2 公比為 2的等比數(shù)列 所以 xxf 21)( ?? 所以 12)( ?? xxf 我們?cè)诶脴?gòu)造法去解方程的時(shí)候，應(yīng)該要想到用什么模型去構(gòu)造，應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的掌握。 （ 2）最后我們求解得到的函數(shù)是否為函數(shù)方程的解，必須要經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)。