【正文】 在 論文寫作整個(gè) 過程中， 桂旺生 老師給予了 悉心 指導(dǎo)，并提供了很多與該研究相關(guān)的重要信息，培養(yǎng)了我對科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和創(chuàng)新精神。我們一般在解決繁瑣的函數(shù)方程時(shí)我們一般沒有什么規(guī)律可以遵循 ，所以我們需要靈活的掌握函數(shù)的一些基本知識和技巧，從而函數(shù)方程的研究是有一定難度的，不過也是非常有趣的課題。然后利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本性質(zhì)去解決。數(shù)列法就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識（通項(xiàng)公式、求和公式等）求定義在N上的函數(shù) )(nf 。 定義法是解方程最基本的解題方法，我們需要通過配方、拼湊等方法將后面的方程式轉(zhuǎn)化為我們所需要的自變量，然后我們就得到了我們想要的函數(shù)方程。 注意：（ 1）我們對于所要求的函數(shù) )(xf ，必須要注明它的定義域，否則它就不為所求。試解出這個(gè)函數(shù)方程。在這種形式盡可能多的問題很難直接解決的，用已知條件需要在一定的目標(biāo)構(gòu)建橋梁的數(shù)學(xué)模型，通信條件和結(jié)論可以是結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系。 解：由題意可知 （ 1） 在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ????中，以 π?x ， x 分別代 x ， y ，得 .0)2()2(2)()( ????? πππ fxfxfxf 所以 )()( xfxf ???π ， 所以 )()(])[()2( xfxfxfxf ???????? ππππ （ 2） 在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? 中，令 ayx ?? ，則 )0()(2)()( fafafaf ?? * 因 )(xf 不恒等于 0，故必有 0x ，使 0)( 0 ?xf ， 不妨取 0xa? ，則 0)( ?af ， 由 *可得 1)0( ?f 于是， )0(2)()( fxfxf ??? )(2)( xfxf ? ， 所以 )()( xfxf ?? （ 3）在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? 中，以 x2 ， 0分別代 x ， y ，得 )()(2)0()2( xfxffxf ?? ， 所以 1)(2)2( 2 ?? xfxf 例 解函數(shù)方程 已知 2)0( ?f ， 4)2( ?πf 且對任意的 x ， y R? 都有 yxfyxfyxf c o s)(2)()( ????試求 )(xf 解：由題意可知 令 tyx ?? ,0 代入 yxfyxfyxf c o s)(2)()( ???? （ 1）得 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 22 tftftf c o s)0(2)()( ??? （ 2） 令2,2 ππ ??? ytx得 02c os2(2)(( ????? π）ππ ） tftftf （ 3） 令 tyx ???22 π，π得 tftftftf s i n2(2)2c os2(2)()( ）ππ（）ππ ??????? （ 4） 所以由（ 2） +（ 4）得 tftftftftf s i n2(2c os)0(2()()(2 ）ππ ） ?????? （ 5） 將（ 3）代入（ 5）得 tftftf s i n2(2c os)0(2)(2 ）π??? 令 tx ?? 得 xfxfxf s in2(c os)0()( ）π?? 又知 2)0( ?f ， 4)2( ?πf 所以 xxxf s in4c o s2)( ?? 賦值法在解方程的時(shí)候能夠更明顯的去尋求解題的方法，有些時(shí)候令自變量為一個(gè)特殊的值，使原來的問題得到簡化，然后再利用其他的方法去解題，從而我們更快的去把這個(gè)方程解出來。 對于一些問題，如果可能的話，根據(jù)自己的具體情況，合理分配，因?yàn)橐恍┪粗那擅?，它是確定分配給特定的值（例如），重要的問題往往可以得到方便和有效的解決方案。 解： 由題意可知令 0xy??得 2(0) (0)(0) 1 4 (0)fff f?? ? 所以 (0) 0f ? 于是 00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) l im l imhhf h f f hf hh???? ?? xR?? 有 00( ) ( ) ()( ) ( ) 1 4 ( ) ( )l i m l i mhhf x f h fxf x h f x f x f hhh??? ??? ?? 20( )[1 4 ( )]lim [1 4 ( ) ( )]hf h f xh f x f h??? ? 1 4 ( )( 0 ) 1 4 ( )1 4 ( ) ( 0 )fxf f xf x f????? ? ?? 故 2( ) 4 ( ) 1f x f x? ??，令 ()y f x? 有 241dy ydx?? 即241dy dxy ??，兩邊積分 arctan 2 2y x C?? 令 0x? ，則 0y? ，所以 0C? 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 20 故 1( ) ta n 22y f x x?? 用解微分方程的方法，我們可以解決看似不可能解決的問題，然后通過已知微分的條件來解決，還要注意最后兩邊同時(shí)積分，得出來的結(jié)果就是我們所求的函數(shù)解析式。 例 試求 ? ? ? ? ? ?yfxfyxfRyxxf ????,)( 解：由題意可知并由數(shù)學(xué)歸納法可得 ? ? ? ? ? ?nn xfxfxxf ????? ?? 11 特別當(dāng) xxx n ????1 時(shí)， ? ? ? ?xnfnxf ? 所以 ①、當(dāng) Nx? 時(shí)，取 1?x ，則 ? ? ? ? nanfnf ?? 1 （設(shè) ?? af ?1 ） 所以 Nx? 時(shí)， ? ? axxf ? ②、當(dāng) Zx? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0000 ?????? fxffxfxf ? ?? ? ? ? ? ? 0?????? nfnfnnf 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 18 ? ? ? ? nanfnf ????? ， 即 Zx? 時(shí)， ? ? axxf ? ③、當(dāng) Qx? 時(shí)，取nmx?，則 ? ? ?????????????? ?? nmfnnmnfmf ? ? anmmanmfnnmf ?????????? 11 即 Qx? 時(shí)， ? ? axxf ? ④、當(dāng) Rx? 時(shí)，構(gòu)造 ??nx 滿足 Qxxxnnn ????lim 則 ? ? ? ? ? ? axaxxfxfxfnnnnn ???? ???? l i ml i ml i m 綜上所述， ? ? axxf ? 解微分方程法 對使用微分法的最重要的方法是函數(shù)方程的解，一些泛函方程可以采取在一個(gè)變量求導(dǎo)法來解決第一 個(gè)建立微分方程， 然后找出滿足這個(gè)微分方程的函數(shù)，也就是說，我們找出這樣的函數(shù) ，然后把這樣的函數(shù)代入微分方程能夠使該方程成為恒等 式。 解：由題意可知 令 162 ??? xxx 則 062 ???xx 解得 21 ??x ， 32?x 所以 21 ??x ， 32?x 是 162)( ??? xxxf 的兩個(gè)不動點(diǎn) 184216221 ????????? nnnnn aaaaa （ 1） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 17 1 3316231 ?????????? n nnnn aaaaa （ 2） （ 1） ? （ 2）得 3243211 ???????? nnnn aaaa 所以數(shù)列?????? ??32nnaa 是以 4為首項(xiàng)， 4為公比的等比數(shù)列 所以 nnnnaa )4()4(432 1 ??????? ? 所以 1)4( 2)4(3 ?? ??? nnna 函數(shù)方程的題目解法技巧性較強(qiáng)，抽象性較高，所以不動點(diǎn)法也是我們求解函數(shù)方程時(shí)一種常見的方法。 不動點(diǎn)法 如果設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在使得這個(gè)條件成立，則稱為此點(diǎn)函數(shù)的不動點(diǎn)，不動點(diǎn)是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家不勞威爾提出來的。 例 已知函數(shù)12)( ???? xxaxf x且 0?a ，函數(shù) )(xf 的單調(diào)增區(qū)間是 ? ????,1 ，求證函數(shù) ? ? 0?xf 沒有負(fù)數(shù)根。 反證法 反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，我們先假設(shè)一個(gè)命題是假的（也就是在原來的命題的條件下，得到的結(jié)論不成立），然后我們在這個(gè)基礎(chǔ)上取推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說我們原來假設(shè)的命題不成立，那么原命題得證。當(dāng) 2?n 時(shí)，))1(()( ?? ngfng 試求出 )(ng 解：由題意可知：當(dāng) 2?n 時(shí)， ))1(()( ?? ngfng 123)1( 2 ???g 127)3())1(()2( 3 ????? fgfg 1215)7())2(()3( 4 ????? fgfg 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 14 ??????? . 所以由上我們猜想可得出 12)( 1 ?? ?nng 那么我們用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí) 314)1( ???g 猜想成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)猜想成立，即 12)( 1 ?? ?kkg 當(dāng) 1??kn 時(shí)， 121)12(2)12())(()1( 211 ????????? ??? kkkfkgfkg 綜上所述 得證 Nnng n ???? ? ,12)( 1 利用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候我們一定要先利用列舉法猜出函數(shù)關(guān)系式，然后通過數(shù)學(xué)歸納法看自變量為 1的時(shí)候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們再次令自變量為 k的時(shí)候猜想必成立，再進(jìn)一步求解，看是否當(dāng)自變量為 k+1時(shí)猜想是否成立，成立則我們的猜想是正確的。 第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè) )(nT 是關(guān)于 Nn? 的一個(gè)命題 （ 1）若 )1(T 成立。 解 : 令 )0(3 ?? tt x ，則 tx 3log? 于是 ? ? )0(),c o s ( l o g)( l o g 333 ??? ttttf 用 x換 t，得 ? ? )0(),c o s ( l o gl o g 333 ??? xtxxf 換元法是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式作為一個(gè)整體，用另一個(gè)字母替代這部分 的一部分。 （ 4）、由遞歸公式 ?遞 歸方程 ? 特征根 ? （定理）求解 例 已知 51)1( ?f ，且當(dāng) n1， Nn? 時(shí)，有)(21 1)1(2)( )1( nfnnfnfnf ? ????求 )(nf 解：把遞推公式進(jìn)行整理得： )1()()1(2)()1( ????? nfnfnnfnf 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 10 所以 )1(2)1( 1)(1 ???? nnfnf 令 ,...,4,3,2 kn ? 得 3*2)1(1)2(1 ?? ff 4*2)2(1)3(1 ?? ff 5*2