【正文】 那么我們的問題也就迎刃而解。然后利用已有的知識，更快更方便的得到我們想要的答案了。在此過程中我們一定要注意自變量的取 值范圍。反證法可以解決一些我們看似無能為力的題目。此種方法的好處便在于，使得精神上的數(shù)學(xué)思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。 函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為 （ 1）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； （ 2） 借用 恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程； （ 3）解方程或消去待定系數(shù) 例 已知 )(xf 是二次函數(shù)，且滿足 12)(2)1(3 2 ????? xxxfxf ，求 )( xf 解析式。 關(guān)鍵詞 ：函數(shù)方程；賦值法；數(shù)學(xué)歸納法；柯西法；解法 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 5 Abstract Key Words： At the time of more than two hundred years before, had appeared function equation solution and research. In the mathematical analysis method, various forms, general, so greatly that by now, you know the solution to few and far between, and the function equation of the existence and uniqueness to remains a mystery until now, not only that, there are a number of functional equations until there is no solution. Because in the research on the basis of the theory of surface problem, must go to the solution of some functional equations, the French mathematician monge use wisdom in 1773 put the function equation into the finite difference equation to deal with。 In the same year, another mathematician of Laplace the monge method is extended to a large variety of the function equation of the above. Functional equations: ? ? )()(2)( yfxfyxfyxf ???? cauchy and also in 1721 by mathematics. Its general solution (the equation is d’ Alembert demonstrated in 1769 when the force resultants of the exported) this approach is known as the cauchy39。 解： 由題意可設(shè)： cbxaxxf ??? 2)( 則 )()2()1( 2 cbaxbaaxxf ??????? 則 )33()6()(2)1(3 2 cbaxbaaxxfxf ???????? 所以 12)33()6( 22 ???????? xxcbaxbaax ????????????133162cbabaa 得 ?????????34132cba 所以 34132)( 2 ??? xxxf 例 已知函數(shù)方程 )(xf 是多項函數(shù)，且滿足 642)1()2( 2 ?????? xxxfxf ，池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 8 求 )(xf 解：由題意可知 )(xf 是多項式 而 )2( ?xf ， )1( ?xf 不改變函數(shù)的最高次項 所以 )(xf 必為二次函數(shù) 則設(shè) cbxaxxf ??? 2)( 而 )24()4()2( 2 cbaxbaaxxf ??????? )92)1( 2 cbabxaxaxxf ??????? 所以 )25()22(2)1()2( 2 cbaxbaaxxfxf ????????? 又 得 ???????????62542222cbabaa 解得 ????????011cba 所以 xxxf ?? 2)( 例 已知對任意的 Rx? ，函數(shù)方程滿足 )(4)1(3)2( xfxfxf ???? 且0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f ，那么求出函數(shù)方程的解。 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)的重要方法之一，應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，所以解決了函數(shù)方程也同樣有效，當(dāng)上了自然數(shù)集合 n定義用于未知函數(shù)。使這些難題很容易的就能解答出來。 賦值法 在解 方程 時， 我們可以通過 運(yùn)用邏輯推理方法 慢慢的去 尋求 需要找的 條件， 然后再找出 結(jié)論， 是一個很常見的解方程的方法 。 定義法 定義法就是把所給函 數(shù)的解析式，然后我們通過配方、拼湊等一系列方法使它變形為關(guān)于“原象 ” (或“自變量” )的表達(dá)式，然后我們用 x代替“自變量”我們即得到的函數(shù) )(xf 的表達(dá)式。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 1 3 結(jié)束語 函數(shù)方程的研究對我們的社會生活越來越重要，函數(shù)方程解法的研究能夠解決我們的一些實際生活問題。從而使這個復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式得到解決。 解：由題意可知 21)1( ??f 又 ]1)([22)(21)1( ?????? xfxfxf 所以 21)( 1)1( ????xfxf 這個可以構(gòu)造出是首相為 2 公比為 2的等比數(shù)列 所以 xxf 21)( ?? 所以 12)( ?? xxf 我們在利用構(gòu)造法去解方程的時候，應(yīng)該要想到用什么模型去構(gòu)造，應(yīng)該對數(shù)學(xué)知識有一定的掌握。 參數(shù)法 如果函數(shù)的未知數(shù)比較多的話，我們?yōu)榱饲蠼夂啽悖袝r我們可以在此基礎(chǔ)上增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便更好地去溝通數(shù)量關(guān)系，這樣的方法叫做設(shè)參數(shù)法； 我們運(yùn)用參數(shù)法去解函數(shù)方程時，它的基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解； 例 已知 xxf 2s in5)c o s2( ??? ，求 )(xf 解：由題意可知我們設(shè)所求函數(shù) )(xfy? 的參數(shù)表達(dá)式為： ??? ?? ?? ty tx2sin5cos2 所以 ??? ?? ?? xt yt 2cos 5sin 2 所以 22 )2(cos xt ?? 所以 15)2(s i nc o s 222 ?????? yxtt 即 842 ??? xxy ， 即 84)( 2 ??? xxxf ， ]3,1[?x 在利用參數(shù)法解函數(shù)關(guān)系式的時候，一定要先引入?yún)?shù)，然后通過轉(zhuǎn)換去消去已有的參數(shù)，再求得函數(shù)解析式。 解：由題意可知 假設(shè) 012 ???? xxax有負(fù)數(shù)根 0x ，而 10 ??x 因為 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數(shù) )(xf 在 ),1( ??? 是增函數(shù) 所以 00?x 這個與假設(shè) 0x 為負(fù)數(shù)根相矛盾 所以 這個假設(shè)不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒有負(fù)數(shù)根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。換元法的好處便是在于使式子得到簡化，從而使得各項關(guān)系在容易明了的基礎(chǔ)上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。 在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運(yùn)用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因為此是最簡單的方法。 其通解（此方程是達(dá)朗貝爾于 1769 年論證力的合成法則時導(dǎo)出的）這種方法被后人稱為柯西方法。s method Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 6 前言 數(shù)學(xué)素來是一門很有知識的學(xué)問。 解：由題意可知 根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構(gòu)，那么我們先找到的解 xaxf ?)( ，其中一個是被確定的一個常數(shù)。 第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè) )(nT 是關(guān)于 Nn? 的一個命題 （ 1）若 )1(T 成立。 不動點法 如果設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在使得這個條件成立，則稱為此點函數(shù)的不動點，不動點是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家不勞威爾提出來的。 對于一些問題，如果可能的話，根據(jù)自己的具體情況，合理分配，因為一些未知的巧妙，它是確定分配給特定的值（例如），重要的問題往往可以得到方便和有效的解決方案。 注意：（ 1）我們對于所要求的函數(shù) )(xf ，必須要注明它的定義域，否則它就不為所求。我們一般在解決繁瑣的函數(shù)方程時我們一般沒有什么規(guī)律可以遵循 ，所以我們需要靈活的掌握函數(shù)的一些基本知識和技巧，從而函數(shù)方程的研究是有一定難度的，不過也是非常有趣的課題。然后利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本性質(zhì)去解決。試解出這個函數(shù)方程。 解： 由題意可知令 0xy??得 2(0) (0)(0) 1 4 (0)fff f?? ? 所以 (0) 0f ? 于是 00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) l im l imhhf h f f hf hh???? ?? xR?? 有 00( ) ( ) ()( ) ( ) 1 4 ( ) ( )l i m l i mhhf x f h fxf x h f x f x f hhh??? ??? ?? 20( )[1 4 ( )]lim [1 4 ( ) ( )]hf h f xh f x f h??? ? 1 4 ( )( 0 ) 1 4 ( )1 4 ( ) ( 0 )fxf f xf x f????? ? ?? 故 2( ) 4 ( ) 1f x f x? ??，令 ()y f x? 有 241dy ydx?? 即241dy dxy ??，兩邊積分 arctan 2 2y x C?? 令 0x? ，則 0y? ，所以 0C? 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 20 故 1( ) ta