【正文】 xxf ????,)( 解：由題意可知并由數(shù)學(xué)歸納法可得 ? ? ? ? ? ?nn xfxfxxf ????? ?? 11 特別當(dāng) xxx n ????1 時(shí)， ? ? ? ?xnfnxf ? 所以 ①、當(dāng) Nx? 時(shí)，取 1?x ，則 ? ? ? ? nanfnf ?? 1 （設(shè) ?? af ?1 ） 所以 Nx? 時(shí)， ? ? axxf ? ②、當(dāng) Zx? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0000 ?????? fxffxfxf ? ?? ? ? ? ? ? 0?????? nfnfnnf 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 18 ? ? ? ? nanfnf ????? ， 即 Zx? 時(shí)， ? ? axxf ? ③、當(dāng) Qx? 時(shí)，取nmx?，則 ? ? ?????????????? ?? nmfnnmnfmf ? ? anmmanmfnnmf ?????????? 11 即 Qx? 時(shí)， ? ? axxf ? ④、當(dāng) Rx? 時(shí)，構(gòu)造 ??nx 滿足 Qxxxnnn ????lim 則 ? ? ? ? ? ? axaxxfxfxfnnnnn ???? ???? l i ml i ml i m 綜上所述， ? ? axxf ? 解微分方程法 對(duì)使用微分法的最重要的方法是函數(shù)方程的解，一些泛函方程可以采取在一個(gè)變量求導(dǎo)法來(lái)解決第一 個(gè)建立微分方程， 然后找出滿足這個(gè)微分方程的函數(shù)，也就是說(shuō)，我們找出這樣的函數(shù) ，然后把這樣的函數(shù)代入微分方程能夠使該方程成為恒等 式。 例 設(shè) )(xf 在 2?x 處連續(xù)，且 32)(lim2 ??? x xfx，又 )2(523)( 23 fxxxxf ????? ，求 )(xf 解： 因?yàn)? )(xf 在 2?x 處連續(xù) 所以 0302)()2()()2( l i ml i m 22 ??????? ?? x xfxxff xx 則 32)(2 )2()()2( l i ml i m 22 ??????? ?? x xfx fxff xx 故 1523)2(523)2(5)( 2323 ??????????? xxxfxxxfxf 例 已知 ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y x y? ? ? ? ?， (0) 1f? ? ，求 ()fx。 解： 由題意可知令 0xy??得 2(0) (0)(0) 1 4 (0)fff f?? ? 所以 (0) 0f ? 于是 00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) l im l imhhf h f f hf hh???? ?? xR?? 有 00( ) ( ) ()( ) ( ) 1 4 ( ) ( )l i m l i mhhf x f h fxf x h f x f x f hhh??? ??? ?? 20( )[1 4 ( )]lim [1 4 ( ) ( )]hf h f xh f x f h??? ? 1 4 ( )( 0 ) 1 4 ( )1 4 ( ) ( 0 )fxf f xf x f????? ? ?? 故 2( ) 4 ( ) 1f x f x? ??，令 ()y f x? 有 241dy ydx?? 即241dy dxy ??，兩邊積分 arctan 2 2y x C?? 令 0x? ，則 0y? ，所以 0C? 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 20 故 1( ) ta n 22y f x x?? 用解微分方程的方法，我們可以解決看似不可能解決的問(wèn)題，然后通過(guò)已知微分的條件來(lái)解決，還要注意最后兩邊同時(shí)積分，得出來(lái)的結(jié)果就是我們所求的函數(shù)解析式。在此過(guò)程中我們一定要注意自變量的取 值范圍。 對(duì)于一些問(wèn)題，如果可能的話，根據(jù)自己的具體情況，合理分配，因?yàn)橐恍┪粗那擅?，它是確定分配給特定的值（例如），重要的問(wèn)題往往可以得到方便和有效的解決方案。 這就是賦值法。 解：由題意可知 （ 1） 在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ????中，以 π?x ， x 分別代 x ， y ，得 .0)2()2(2)()( ????? πππ fxfxfxf 所以 )()( xfxf ???π ， 所以 )()(])[()2( xfxfxfxf ???????? ππππ （ 2） 在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? 中，令 ayx ?? ，則 )0()(2)()( fafafaf ?? * 因 )(xf 不恒等于 0，故必有 0x ，使 0)( 0 ?xf ， 不妨取 0xa? ，則 0)( ?af ， 由 *可得 1)0( ?f 于是， )0(2)()( fxfxf ??? )(2)( xfxf ? ， 所以 )()( xfxf ?? （ 3）在 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? 中，以 x2 ， 0分別代 x ， y ，得 )()(2)0()2( xfxffxf ?? ， 所以 1)(2)2( 2 ?? xfxf 例 解函數(shù)方程 已知 2)0( ?f ， 4)2( ?πf 且對(duì)任意的 x ， y R? 都有 yxfyxfyxf c o s)(2)()( ????試求 )(xf 解：由題意可知 令 tyx ?? ,0 代入 yxfyxfyxf c o s)(2)()( ???? （ 1）得 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 22 tftftf c o s)0(2)()( ??? （ 2） 令2,2 ππ ??? ytx得 02c os2(2)(( ????? π）ππ ） tftftf （ 3） 令 tyx ???22 π，π得 tftftftf s i n2(2)2c os2(2)()( ）ππ（）ππ ??????? （ 4） 所以由（ 2） +（ 4）得 tftftftftf s i n2(2c os)0(2()()(2 ）ππ ） ?????? （ 5） 將（ 3）代入（ 5）得 tftftf s i n2(2c os)0(2)(2 ）π??? 令 tx ?? 得 xfxfxf s in2(c os)0()( ）π?? 又知 2)0( ?f ， 4)2( ?πf 所以 xxxf s in4c o s2)( ?? 賦值法在解方程的時(shí)候能夠更明顯的去尋求解題的方法，有些時(shí)候令自變量為一個(gè)特殊的值，使原來(lái)的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，然后再利用其他的方法去解題，從而我們更快的去把這個(gè)方程解出來(lái)。應(yīng)用思路來(lái)解決建設(shè)問(wèn)題暴露思維過(guò)程，可 以增強(qiáng)應(yīng)用的建設(shè)解決問(wèn)題的思想的學(xué)生的意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。在這種形式盡可能多的問(wèn)題很難直接解決的，用已知條件需要在一定的目標(biāo)構(gòu)建橋梁的數(shù)學(xué)模型，通信條件和結(jié)論可以是結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系。一個(gè)問(wèn)題，如果它是不容易解決在一個(gè)給定的系統(tǒng)中，如果能找到轉(zhuǎn)換到另一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，相應(yīng)的問(wèn)題之間的關(guān)系“ f”或 與之間的關(guān)系的輔助下新的數(shù)學(xué)模型“自然” ，才能到原來(lái)的問(wèn)題解決方案，這是數(shù)學(xué)解題的構(gòu)造法。試解出這個(gè)函數(shù)方程。然后利用已有的知識(shí)，更快更方便的得到我們想要的答案了。 注意：（ 1）我們對(duì)于所要求的函數(shù) )(xf ，必須要注明它的定義域，否則它就不為所求。 例 已知 xxxx xf 11)1(22 ???? ，求 )(xf 。 定義法是解方程最基本的解題方法，我們需要通過(guò)配方、拼湊等方法將后面的方程式轉(zhuǎn)化為我們所需要的自變量，然后我們就得到了我們想要的函數(shù)方程。 例 已知 5415)( 2 ?? xxf ，求 )()( xf n 解：由題意可知 令 xx ?? 5415 2 則 7272 ??x 則 727)727(155415)( 22 ????? xxxf 所以 727)727(15)( 22)2( ??? xxf 727)727(15)( 23)3( ??? xxf ?????? .. 727)727(15)( 2)( ??? xxf nn 函數(shù)迭代法其實(shí)有的時(shí)候可以利用 不動(dòng)點(diǎn)法解出不動(dòng)點(diǎn)，然后通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)進(jìn)一步去用函數(shù)迭代法解決我們所求的函數(shù)解析式 . 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 25 數(shù)列法 求定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù) )(nf 。數(shù)列法就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)（通項(xiàng)公式、求和公式等）求定義在N上的函數(shù) )(nf 。 解：由 qnpfnf ??? )1()( （ 1） 得 qnpfnf ??? )()1( （ 2） 由（ 2） （ 1）得 pnfnfnfnf )]1()([)()1( ????? 所以 pnfnf nfnf ??? ?? )1()( )()1( 所以數(shù)列 )}1()({ ?? nfnf 是首項(xiàng)為 )1()2( ff ? ，公比為 )1( ?pp 的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為 : 1)]1()2([)()1( ????? npffnfnf (3) 將（ 2）及 af ?)1( ， qapqpff ???? )1()2( 代入（ 3），并整理，得 1)1()( 1 ????? ? q ppp qanf n 例 已知 1)2()1( ?? ff ， xxfxfxf 2)()1(2)2( ????? )1( Zxx ?? 且 ，求)(xf 。然后利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本性質(zhì)去解決。那么我們的問(wèn)題也就迎刃而解。我們一般在解決繁瑣的函數(shù)方程時(shí)我們一般沒有什么規(guī)律可以遵循 ，所以我們需要靈活的掌握函數(shù)的一些基本知識(shí)和技巧，從而函數(shù)方程的研究是有一定難度的，不過(guò)也是非常有趣的課題。在此，希望更多數(shù)學(xué)愛好者能把精力投入到這類問(wèn)題的研究中。在 論文寫作整個(gè) 過(guò)程中， 桂旺生 老師給予了 悉心 指導(dǎo)，并提供了很多與該研究相關(guān)的重要信息，培養(yǎng)了我對(duì)科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和創(chuàng)新精神。在此表示衷心的感謝 ！ 本次實(shí)驗(yàn)還得到了課題組的各位老師 以及相關(guān)同學(xué) 的大力協(xié)助，在此一并表示我的感謝！ 謝謝你們！ 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 [M] 高等教育出版社 ， 1999， 9 [2]俞宏玉 函數(shù)方程的一些解法 [J] 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 20xx,10 [3]趙偉 . 函數(shù)方程的若干解法 [J]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 ， 20xx， 6 [4]潘舜卿 一類函數(shù)的解法 [J]鹽城工業(yè)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)第三期 1995,10 [5]李永樂，李正元 .數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書 [M]國(guó)家行政學(xué) 院出版社， 20xx [6] 王家正，喬宗敏 .數(shù)學(xué)分析方法選講 [M安徽大學(xué)出版社， 20xx [7]陸啟少 .現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M]北京航天航空大學(xué)出版社， 1997 [8]阿拉坦巴根 試論用初等方法解函數(shù)方程 [J]民族高等教育研究 20xx [9]羅莎 培特（ ROZSA PETER） ；遞歸函數(shù)論（莫紹摸澤） [10]Monge（蒙日）， Memoires des Sauants， Etrangers， Parts，（ 1773）