【文章內容簡介】 )3()2()2()1( ??????? kfkfkfkf ? ? ? ? )1()2()2()3( ffff ??? 累加得 1)1()( ??? kfkf 所以 1)1()( ??? nfnf 1)2()1( ???? nfnf ? ? ? 1)1()2( ?? ff 累加得 1)1()( ??? nfnf 所以 1)( ??nnf 換元法 函數的“自變量”或某個關系式去用一個新的變量（中間 變量）去替換，這樣的方法稱之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數之間的關系，以及由此得到的函數式是用于解決函數方程的基本方法之一。函數方程的適當的變量代換，新的方程，從而得到方程的解。 例 設 )0(11 ????????? ? xxxxf求解 ? ?1?xf 。 解：不妨設 xxt 1?? ，則有 tx ??11 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 12 所以 ? ?ttttf ?????? 1211 1 所以 ? ?xxxf ??? 12 故 ? ? ? ?xxxxxxxf 1111 )1(21 ??????? ???? 例 已知 ? ? xxf x cos3 3 ?? ，求 ??xf 。 解 : 令 )0(3 ?? tt x ，則 tx 3log? 于是 ? ? )0(),c o s ( l o g)( l o g 333 ??? ttttf 用 x換 t，得 ? ? )0(),c o s ( l o gl o g 333 ??? xtxxf 換元法是一個復雜的數學公式作為一個整體，用另一個字母替代這部分 的一部分。換元法的好處便是在于使式子得到簡化，從而使得各項關系在容易明了的基礎上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。此種方法的好處便在于，使得精神上的數學思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。 數學歸納法 數學歸納法是數學的重要方法之一，應用范圍相當廣泛，所以解決了函數方程也同樣有效，當上了自然數集合 n定義用于未知函數。 第一數學歸納法：設 )(nT 是關于 Nn? 的一個命題 （ 1）若 )1(T 成立。 （ 2） （遞推）假設 )(rT 成立，若 )1( ?rT 成立，則 )(nT 對所有的自然數都會成立的。 任何非空集合的自然數必須擁有最大數量（原則的最大數目） 產生第二數學歸納法： 1） 若 )1(f 成立 2） 假設 rn? 時 )(nf 成立，若 )1( ?rf 也成立，則 )(nf 對? 例 已知 xnfxnf s in)1(c o s)( ??? ，其中 xf co)1( ? . ]2,0[ π?x ， n 是自然數，試解出這個函數方程。 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 13 解：由 xf cos)1( ? 可知 )1( s i nc o ss i n)1(c o s)2( ???? xxxfxf )s ins in1(c o s)3( 2 xxxf ??? )s i ns i ns i n1(c o s)4( 32 xxxxf ???? ?????????? 所以從上面的式子中我們可以猜想得 xxxxxxxnf nn s i n1 s i n1c oss i ns i ns i n1(c os)( 12 ???????? ?? 我們可以用數學歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1） 當 1?n 時 xf cos)1( ? 猜想成立 （ 2） 假設當 kn? 時猜想成立，即 xxxkf ksin1 sin1c os)( ??? 成立 當 1??kn 時，得 xkfxkf s in)(c o s)1( ??? xxxxx ks in1 s in1s inc osc os ???? x xx ksin1 )sin1(c os 1??? ?， 所以由上面的條件可以知道，當 kn? 時等式成立，則當 1??kn 時也成立 綜上所述得： xxxnf nsin1 sin1c os)( ??? 例 已知函數 12)( ?? nnf ， 當 1?n 時， 3)( ?ng 。當 2?n 時，))1(()( ?? ngfng 試求出 )(ng 解：由題意可知：當 2?n 時， ))1(()( ?? ngfng 123)1( 2 ???g 127)3())1(()2( 3 ????? fgfg 1215)7())2(()3( 4 ????? fgfg 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 14 ??????? . 所以由上我們猜想可得出 12)( 1 ?? ?nng 那么我們用數學歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1）當 1?n 時 314)1( ???g 猜想成立 （ 2）假設當 kn? 時猜想成立，即 12)( 1 ?? ?kkg 當 1??kn 時， 121)12(2)12())(()1( 211 ????????? ??? kkkfkgfkg 綜上所述 得證 Nnng n ???? ? ,12)( 1 利用數學歸納法的時候我們一定要先利用列舉法猜出函數關系式，然后通過數學歸納法看自變量為 1的時候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們再次令自變量為 k的時候猜想必成立，再進一步求解，看是否當自變量為 k+1時猜想是否成立，成立則我們的猜想是正確的。 解方程組法 方程的解是變量的函數方程（或關系）適當的變量代換（有時需要幾個替代） ,得到一個（或者幾個）新的函數方程，然后再與原來的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數 )(xf ，那么我們就可以得出所求的函數方程的解。 例 解函數方程 ? ? )1,0(,1 ?????????? xxcxxbfxaf（其中 a、 b、 c為直角三角形的三邊， a是斜邊長）（ 79年浙江省數學競賽題改） 解：由題意可知 ? ?xcxbfxaf 11 ???????? ?????????? （ 1） ? ? cxxbfxaf ???????? 1 ???????????? （ 2） 由（ 1） *b得 ? ? xbcxfbxabf 11 2 ???????? ?????????? （ 3） 由（ 2） *a得 ? ? ac xxabfxfa ???????? 12??????????? （ 4） 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 15 由（ 4） (3)得 ? ? ? ? ? ?x cbaxxfbxfa ??? 222 所以)( )()( 222bax cbaxxf ??? 又因為直角三角形的三邊分別為 a、 b、 c，其中 a是斜邊長 則 xc baxxc cbaxxf )()()( 222 ???? ? ?10 ?? xx 且 例 ??xf 是定義在 ? ???,0 的實值函數，且 2ln)()1( ?? xxfxf ，求 ??xf 。 解 :由題意可知 令 x1 換 x 得 2)ln)(1(21ln)1()( ????? xxfxxfxf 聯(lián)立方程組????????????2ln)()1(2)ln)(1()(xxfxfxxfxf 消去 )1(xf 得 ? ? 2)ln(2ln)()( ???? xxxfxf ? ? 4ln2)2ln(ln1)( ?????? xxxxf 所以 2)1(ln 4ln2)( ? ??? x xxf， )0( ?x 解方程組法也是我們解函數方程的重要方法之一，先利用換元法得到我們想要的方程組，然后通過解方程組的方法消去我們不需要的項，然后解出函數方程。 反證法 反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，我們先假設一個命題是假的（也就是在原來的命題的條件下，得到的結論不成立），然后我們在這個基礎上取推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說我們原來假設的命題不成立，那么原命題得證。 步驟 :(1)假設一個命題的結論是假的，也 就是說假設結論的反面成立。 ? ? ? ? xbcac xxfbxabfxabfxfa 111 22 ???????? ???????????????池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 16 （ 2）我們再從這個命題出發(fā)，經過一系列的推理證明得出相互矛盾的條件。 （ 3）我們再由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論正確。 例 已知函數12)( ???? xxaxf x且 0?a ，函數 )(xf 的單調增區(qū)間是 ? ????,1 ，求證函數 ? ? 0?xf 沒有負數根。 解：由題意可知 假設 012 ???? xxax有負數根 0x ，而 10 ??x 因為 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數 )(xf 在 ),1( ??? 是增函數 所以 00?x 這個與假設 0x 為負數根相矛盾 所以 這個假設不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒有負數根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。反證法可以解決一些我們看似無能為力的題目。使這些難題很容易的就能解答出來。 不動點法 如果設函數的定義域為，若存在使得這個條件成立，則稱為此點函數的不動點，不動點是由荷蘭著名數學家不勞威爾提出來的。如果用圖像的話來說，不動點就是意味著函數與直線有公共點且這個公共點是不動點。運用函數的不動點求解函數方程也是一 個重要且有效地數學方法。 例 已知數列 ??na 滿足首項 21?a ，1621 ???? nnn aaa 求數列 ??na 的通項公式。 解：由題意可知 令 162 ??? xxx 則 062 ???xx 解得 21 ??x ， 32?x 所以 21 ??x ， 32?x 是 162)( ??? xxxf 的兩個不動點 184216221 ????????? nnnnn aaaaa （ 1） 池州學院 本科 畢業(yè)論文 （設計） 17 1 3316231 ?????????? n nnnn aaaaa （ 2） （ 1） ? （ 2）得 3243211 ???????? nnnn aaaa 所以數列?????? ??32nnaa 是以 4為首項， 4為公比的等比數列 所以 nnnnaa )4()4(432 1 ??????? ? 所以 1)4( 2)4(3 ?? ??? nnna 函數方程的題目解法技巧性較強，抽象性較高，所以不動點法也是我們求解函數方程時一種常見的方法。 柯西法 柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說首先求出自變量取自然數時，函數方程的解，然后我們依次讓自變量取一切自然數、整數、有理數，最后取一切實數值時，如果這個方程都成立，那么它就是函數方程的解。 必須