【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )3()2()2()1( ??????? kfkfkfkf ? ? ? ? )1()2()2()3( ffff ??? 累加得 1)1()( ??? kfkf 所以 1)1()( ??? nfnf 1)2()1( ???? nfnf ? ? ? 1)1()2( ?? ff 累加得 1)1()( ??? nfnf 所以 1)( ??nnf 換元法 函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式去用一個(gè)新的變量（中間 變量）去替換，這樣的方法稱之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數(shù)之間的關(guān)系，以及由此得到的函數(shù)式是用于解決函數(shù)方程的基本方法之一。函數(shù)方程的適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，新的方程，從而得到方程的解。 例 設(shè) )0(11 ????????? ? xxxxf求解 ? ?1?xf 。 解：不妨設(shè) xxt 1?? ，則有 tx ??11 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 12 所以 ? ?ttttf ?????? 1211 1 所以 ? ?xxxf ??? 12 故 ? ? ? ?xxxxxxxf 1111 )1(21 ??????? ???? 例 已知 ? ? xxf x cos3 3 ?? ，求 ??xf 。 解 : 令 )0(3 ?? tt x ，則 tx 3log? 于是 ? ? )0(),c o s ( l o g)( l o g 333 ??? ttttf 用 x換 t，得 ? ? )0(),c o s ( l o gl o g 333 ??? xtxxf 換元法是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式作為一個(gè)整體，用另一個(gè)字母替代這部分 的一部分。換元法的好處便是在于使式子得到簡(jiǎn)化，從而使得各項(xiàng)關(guān)系在容易明了的基礎(chǔ)上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。此種方法的好處便在于，使得精神上的數(shù)學(xué)思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬(wàn)不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)的重要方法之一，應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，所以解決了函數(shù)方程也同樣有效，當(dāng)上了自然數(shù)集合 n定義用于未知函數(shù)。 第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè) )(nT 是關(guān)于 Nn? 的一個(gè)命題 （ 1）若 )1(T 成立。 （ 2） （遞推）假設(shè) )(rT 成立，若 )1( ?rT 成立，則 )(nT 對(duì)所有的自然數(shù)都會(huì)成立的。 任何非空集合的自然數(shù)必須擁有最大數(shù)量（原則的最大數(shù)目） 產(chǎn)生第二數(shù)學(xué)歸納法： 1） 若 )1(f 成立 2） 假設(shè) rn? 時(shí) )(nf 成立，若 )1( ?rf 也成立，則 )(nf 對(duì)? 例 已知 xnfxnf s in)1(c o s)( ??? ，其中 xf co)1( ? . ]2,0[ π?x ， n 是自然數(shù)，試解出這個(gè)函數(shù)方程。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 13 解：由 xf cos)1( ? 可知 )1( s i nc o ss i n)1(c o s)2( ???? xxxfxf )s ins in1(c o s)3( 2 xxxf ??? )s i ns i ns i n1(c o s)4( 32 xxxxf ???? ?????????? 所以從上面的式子中我們可以猜想得 xxxxxxxnf nn s i n1 s i n1c oss i ns i ns i n1(c os)( 12 ???????? ?? 我們可以用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1） 當(dāng) 1?n 時(shí) xf cos)1( ? 猜想成立 （ 2） 假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)猜想成立，即 xxxkf ksin1 sin1c os)( ??? 成立 當(dāng) 1??kn 時(shí)，得 xkfxkf s in)(c o s)1( ??? xxxxx ks in1 s in1s inc osc os ???? x xx ksin1 )sin1(c os 1??? ?， 所以由上面的條件可以知道，當(dāng) kn? 時(shí)等式成立，則當(dāng) 1??kn 時(shí)也成立 綜上所述得： xxxnf nsin1 sin1c os)( ??? 例 已知函數(shù) 12)( ?? nnf ， 當(dāng) 1?n 時(shí)， 3)( ?ng 。當(dāng) 2?n 時(shí)，))1(()( ?? ngfng 試求出 )(ng 解：由題意可知：當(dāng) 2?n 時(shí)， ))1(()( ?? ngfng 123)1( 2 ???g 127)3())1(()2( 3 ????? fgfg 1215)7())2(()3( 4 ????? fgfg 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 14 ??????? . 所以由上我們猜想可得出 12)( 1 ?? ?nng 那么我們用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí) 314)1( ???g 猜想成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)猜想成立，即 12)( 1 ?? ?kkg 當(dāng) 1??kn 時(shí)， 121)12(2)12())(()1( 211 ????????? ??? kkkfkgfkg 綜上所述 得證 Nnng n ???? ? ,12)( 1 利用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候我們一定要先利用列舉法猜出函數(shù)關(guān)系式，然后通過數(shù)學(xué)歸納法看自變量為 1的時(shí)候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們?cè)俅瘟钭宰兞繛?k的時(shí)候猜想必成立，再進(jìn)一步求解，看是否當(dāng)自變量為 k+1時(shí)猜想是否成立，成立則我們的猜想是正確的。 解方程組法 方程的解是變量的函數(shù)方程（或關(guān)系）適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q（有時(shí)需要幾個(gè)替代） ,得到一個(gè)（或者幾個(gè)）新的函數(shù)方程，然后再與原來(lái)的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù) )(xf ，那么我們就可以得出所求的函數(shù)方程的解。 例 解函數(shù)方程 ? ? )1,0(,1 ?????????? xxcxxbfxaf（其中 a、 b、 c為直角三角形的三邊， a是斜邊長(zhǎng)）（ 79年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題改） 解：由題意可知 ? ?xcxbfxaf 11 ???????? ?????????? （ 1） ? ? cxxbfxaf ???????? 1 ???????????? （ 2） 由（ 1） *b得 ? ? xbcxfbxabf 11 2 ???????? ?????????? （ 3） 由（ 2） *a得 ? ? ac xxabfxfa ???????? 12??????????? （ 4） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 15 由（ 4） (3)得 ? ? ? ? ? ?x cbaxxfbxfa ??? 222 所以)( )()( 222bax cbaxxf ??? 又因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為 a、 b、 c，其中 a是斜邊長(zhǎng) 則 xc baxxc cbaxxf )()()( 222 ???? ? ?10 ?? xx 且 例 ??xf 是定義在 ? ???,0 的實(shí)值函數(shù)，且 2ln)()1( ?? xxfxf ，求 ??xf 。 解 :由題意可知 令 x1 換 x 得 2)ln)(1(21ln)1()( ????? xxfxxfxf 聯(lián)立方程組????????????2ln)()1(2)ln)(1()(xxfxfxxfxf 消去 )1(xf 得 ? ? 2)ln(2ln)()( ???? xxxfxf ? ? 4ln2)2ln(ln1)( ?????? xxxxf 所以 2)1(ln 4ln2)( ? ??? x xxf， )0( ?x 解方程組法也是我們解函數(shù)方程的重要方法之一，先利用換元法得到我們想要的方程組，然后通過解方程組的方法消去我們不需要的項(xiàng)，然后解出函數(shù)方程。 反證法 反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，我們先假設(shè)一個(gè)命題是假的（也就是在原來(lái)的命題的條件下，得到的結(jié)論不成立），然后我們?cè)谶@個(gè)基礎(chǔ)上取推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)我們?cè)瓉?lái)假設(shè)的命題不成立，那么原命題得證。 步驟 :(1)假設(shè)一個(gè)命題的結(jié)論是假的，也 就是說(shuō)假設(shè)結(jié)論的反面成立。 ? ? ? ? xbcac xxfbxabfxabfxfa 111 22 ???????? ???????????????池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 16 （ 2）我們?cè)購(gòu)倪@個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理證明得出相互矛盾的條件。 （ 3）我們?cè)儆擅芘袛嗉僭O(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。 例 已知函數(shù)12)( ???? xxaxf x且 0?a ，函數(shù) )(xf 的單調(diào)增區(qū)間是 ? ????,1 ，求證函數(shù) ? ? 0?xf 沒有負(fù)數(shù)根。 解：由題意可知 假設(shè) 012 ???? xxax有負(fù)數(shù)根 0x ，而 10 ??x 因?yàn)? 0)( 0 ?xf 又 101 201)0( ??????f 知 )0()( 0 fxf ? 而函數(shù) )(xf 在 ),1( ??? 是增函數(shù) 所以 00?x 這個(gè)與假設(shè) 0x 為負(fù)數(shù)根相矛盾 所以 這個(gè)假設(shè)不成立 所以 方程 012 ???? xxax 沒有負(fù)數(shù)根 我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然后得出我們所想要的答案。反證法可以解決一些我們看似無(wú)能為力的題目。使這些難題很容易的就能解答出來(lái)。 不動(dòng)點(diǎn)法 如果設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在使得這個(gè)條件成立，則稱為此點(diǎn)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家不勞威爾提出來(lái)的。如果用圖像的話來(lái)說(shuō)，不動(dòng)點(diǎn)就是意味著函數(shù)與直線有公共點(diǎn)且這個(gè)公共點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求解函數(shù)方程也是一 個(gè)重要且有效地?cái)?shù)學(xué)方法。 例 已知數(shù)列 ??na 滿足首項(xiàng) 21?a ，1621 ???? nnn aaa 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 解：由題意可知 令 162 ??? xxx 則 062 ???xx 解得 21 ??x ， 32?x 所以 21 ??x ， 32?x 是 162)( ??? xxxf 的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 184216221 ????????? nnnnn aaaaa （ 1） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 17 1 3316231 ?????????? n nnnn aaaaa （ 2） （ 1） ? （ 2）得 3243211 ???????? nnnn aaaa 所以數(shù)列?????? ??32nnaa 是以 4為首項(xiàng)， 4為公比的等比數(shù)列 所以 nnnnaa )4()4(432 1 ??????? ? 所以 1)4( 2)4(3 ?? ??? nnna 函數(shù)方程的題目解法技巧性較強(qiáng)，抽象性較高，所以不動(dòng)點(diǎn)法也是我們求解函數(shù)方程時(shí)一種常見的方法。 柯西法 柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說(shuō)首先求出自變量取自然數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解，然后我們依次讓自變量取一切自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)，最后取一切實(shí)數(shù)值時(shí)，如果這個(gè)方程都成立，那么它就是函數(shù)方程的解。 必須