有理函數(shù)不定積分的研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 08:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 個(gè)原函數(shù)。 定理若是函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)f(x)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)僅限于（）的形式。探討研究：已知是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，有。設(shè)是函數(shù)的任意（注意“任意”二字）一個(gè)原函數(shù)，即，有，兩式相減，有以下的式子：或。 根據(jù)以前的推論可知，（是某個(gè)常數(shù)）或，即函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)）都是的形式。 這個(gè)定理指出，一個(gè)函數(shù)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)彼此僅相差一個(gè)常數(shù)。如果欲求函數(shù)的所有的原函數(shù)，只需求出函數(shù)f(x)只需數(shù)的一個(gè)原函求出函數(shù)，然后再加上任意常數(shù)，就得到了函數(shù)的所有的原函數(shù)。 不定積分的定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間I的所有原函數(shù)（）稱為函數(shù)f(x)的不定積分，表為：（），其中f(x)稱為被積函數(shù)， 稱為被積表達(dá)式，稱為積分常數(shù)。 注意：根據(jù)原函數(shù)的定義，當(dāng)我們說(shuō)是的原函數(shù)，總是對(duì)一個(gè)特定區(qū)間而言的，則對(duì)任意常數(shù)，有也是上的原函數(shù)，這里的常數(shù)也是對(duì)區(qū)間而言的，也就是說(shuō)，對(duì)同一個(gè)區(qū)間，必須是同一個(gè)數(shù)。例如：函數(shù) 在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)，我們說(shuō)，在，,是的原函數(shù)；在是 的原函數(shù)；但不能說(shuō)在上，是的原函數(shù)。由此可見(jiàn)，一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)族。 直接積分法就是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定積分的方法，并且直接積分法關(guān)鍵就是對(duì)被積函數(shù)不管使用什么樣的變形，最后都要利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本的積分公式，直接求出不定積分。因此，對(duì)被積函數(shù)的變形要遵循“有的放矢”的原則，進(jìn)而為選擇適當(dāng)?shù)幕痉e分公式打開(kāi)方便之門(mén)。 性質(zhì)一、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在原函數(shù)，,則函數(shù)也是在上存在原函數(shù)，且 。 性質(zhì)二、設(shè)函數(shù)都在區(qū)間上存在原函數(shù)，則函數(shù)或也在上存在原函數(shù)，且 例：求 解： = = = 湊微分法 湊微分法的基本思想是：把所求的被積函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代積分公式求出積分結(jié)果。該積分的關(guān)鍵是：將被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分是復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另一部分是內(nèi)函數(shù)的微分，在計(jì)算的同時(shí)要注意湊微分的過(guò)程中系數(shù)的調(diào)整。有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行一定的變換后就能由基本公式求出所需的積分。例如求 這個(gè)不定分與公式不同，區(qū)別在于后者的被積函數(shù)是積分變量x的直接函數(shù)，而前者的被積函數(shù)是積分變量x的復(fù)合函數(shù)，故不能直接應(yīng)用公式，但這個(gè)被積函數(shù)是與之積，且，這樣所求積分可以改寫(xiě)成，再令，則就與基本積分公式相同，然后再代回原來(lái)的變量，就求得不定積分: = = =例：求 解：令,則du=2dx, 將和代入被積表達(dá)式，得： == 在積分時(shí)，還會(huì)遇到這類積分，如，等積分，它們的被積函數(shù)都是兩個(gè)不同類型的函數(shù)之積，是無(wú)法用換元 積分法積出的，對(duì)這類積分可采用分部積分法來(lái)解決。 分部積分法，可以利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式推導(dǎo)出來(lái)： 設(shè)函數(shù)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式, 移項(xiàng)得，對(duì)等式兩邊作不定積分得： 即 ，這就是分部積分公式。當(dāng)積分不易計(jì)算，而積分比較容易計(jì)算時(shí)，就可以利用這個(gè)公式。此方法的關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)剡x取和，使等式右邊的積分變得容易計(jì)算些。 例：求 解：設(shè)由分部積分公式，有： = =
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