【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 有效：“倒代換”法對(duì)于下列? ??? )( d 2 cbxaxnmx x ) 1 ( tnmx ??令 的好方法。倒代換法是一個(gè)去分母例 4 解 ? ??? . )1( 123 d 2 xxxx x計(jì)算 , dd , 1 2 故則令 x xtxt ????? ?????? 22 23 d 123 d tttxxx x? ???? 2)1(4 d tt , )10( dc os2d , s i n21 從而則令 ????? ???? tt?? ???? ??? 22 cos 2 dcos2 123 d xxx x??? ?dC??? ? . 21arcs i n Cxx ????例 1 求積分 .co ssi n1 si n? ?? dxxx x解 ,1 2si n 2uux ??2211co suux??? ,122 duudx ??由萬能公式 ? ?? dxxx x co ssi n1 si n duuu u? ??? )1)(1( 2 2duuu uuu? ?? ????? )1)(1( 112 222duuu uu? ?? ???? )1)(1( )1()1( 222duuu? ??? 211 duu? ?? 1 1ua r c ta n? )1l n (21 2u?? Cu ??? |1|ln2t anxu ??2x? |2sec|lnx? .|2t a n1|ln Cx ???例 3 求積分 .si n14? dxx解（一） ,2t a n xu ? ,1 2si n 2uux ?? ,1 2 2 duudx ??? dxx4si n1 duu uuu? ???? 4 642 8 331Cuuuu ?????? ]3333 1[8133 .2t a n2412t a n832t a n832t a n24133 Cxxxx??????????????????解（二） 變形萬能公式 , xu ta n?令 ,1si n 2uux ?? ,1 1 2 duudx ??? dxx4si n1duuuu? ?????????? 2421111duu u? ?? 421Cuu ???? 13 1 3 .co tco t31 3 Cxx ????解（三） 不用萬能公式 . ? dxx4si n1 dxxx )co t1(csc 22? ??x d xxx d x 222 c scc o tc sc? ??? )( co t xd?.co t31co t 3 Cxx ????結(jié)論 萬能代換不一定是最佳方法 , 故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段 , 不得已才用萬能置換 . 例 4 求積分 .si n3si n si n1? ?? dxxx x解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA ????? ?? dxxx xsi n3si n si n1 ? ?? dxxx xco s2si n2 si n1? ?? dxxx x 2co ssi n4 si n1?? dxxx 2co ssi n 141 ?? dxx2co s141? ?? dxxx xx 222c o ss i nc o ss i n41 ?? dxx2co s141?? ?? dxxdxxx si n141co ssi n41 2?? dxx2co s141?? ??? dxxxdx si n141)( co sco s141 2?? dxx2co s141xco s41?2t a nln41 x? .t a n41 Cx ??例 5 解 . s i n2 d 2? ? xx計(jì)算 , 1 dd ,1s i n , t an 2222 故則令 ttxttxxt ????? 2ds i n2 d 22 ?? ??? t txxCt ?? 2arct an21 . 2t anarct an21 Cx ??例 6 解 . t an2 d 2? ? xx計(jì)算 , 1 dd , t an 2 故則令 ttxxt ??? )1)(2( dt an2 d 222 ?? ???? tt txx? ?????? ???? d2111 22 ttt 2arct an21arct an Ctt ??? . 2t anarct an21 Cxx ???例 7 解 . ) 0 , 0 ( coss i n d 為常數(shù)計(jì)算 ???? baxbxa x c oss i n c oss i n 222222 ?????? ?????? xba bxba abaxbxa , )s i n (22 ???? xba . s i n , c o s , 2222 ba bba a ???? ??其中?? ???? )s i n ( d1coss i n d 22 ?x xbaxbxa x d)cs c(1 22 ? ??? xxba ? . |)c o t ()c s c (|ln1 22 Cxxba ＋?? ?????利用恒等變換 5 雙曲代換 積分中為了化掉根式還可用雙曲代換 . 122 ?? tshtch?,x asht x ac ht? ? ?或 令 a shtx ?dxax? ? 22 1?? dtac htac ht ? ??? Ctdt1 xsh Ca???.ln22Caaxax ????????? ???a c h td tdx ?例 3 求積分 .2? dxex x解 ,2xu ? ,dvdedxe xx ??? dxex x2 ??? 22 dxeex xx.)(22 Cexeex xxx ????xev ?)( dxexeex xxx ???? 22dxxeex xx ??? 22xx dexex ??? 22例 4 求積分 .ln? x dxx解 ,ln xu ? ,22dvxdxdx ??? xd xx ln??? xdxxx 2121 2 ln?? 221 xdxlnCxxx ??? 22 4121 ln 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為 . u例 5 求積分 .a r c t a n? xdxx解 令 ,ar c tan xu ? dvxdx d x ?? 22? xdxx a r c t a n )( a r ct a n2a r ct a n222xdxxx ???dxxxxx 222112a rc t a n2 ???? ?xx a r c t a n22?.)a r c t a n(21a r c t a n22Cxxxx ???? dxx )1 11(212???? ? 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為 u. 例 6 求積分 .si n? xdxe x解 ? xdxe x si n ?? xx d esi n ??? )( si nsi n xdexe xx??? x d xexe xx c o ssi n ??? xx x d exe c o ssi n???? )c o sc o s(si n xdexexe xxx???? x d xexxe xx si n)c o s( si n?? x d xe x si n .)co s( si n2 Cxxex???例 7 求積分 .s e c? x d x3解 ? xdx3s e c ?? xxd ta ns e cdxxxxx ??? 2tans e ctans e cdxxxxx )( s e cs e ctans e c 12 ??? ?dxxdxxxx ?? ??? s e cs e ctans e c 33se c ta n se c l n se c ta nx x x d x x x? ? ? ??? xdx3s e c 1 ( s e c ta n l n s e c ta n )2 x x x x C? ? ? ?, , : 上 例 顯 示 在 運(yùn) 用 分 部 積 分 法 時(shí) 可 能 會(huì) 出 現(xiàn) 下 列 關(guān) 系 式 . ) 1 ( d)()(d)( ??? ?? axxfaxxxf ? , , 便可得出后任意常數(shù)經(jīng)移項(xiàng)并在等式右端加此時(shí) C 所求的不定積分 . )(1 1d)( Cxaxxf ???? ?復(fù)原法 (回歸法 ,循環(huán)法 )! 例 7’ .c o s1 )s i n1(? ? ? dxx xe x求解 s in1 c o s 1 c o sxxe x ed x d xxx?????=s in1 c o s 1 c o sxxxed e d xxx??????s in1 c o s 1 c o s 1 c o sx x xe x e ed x d xx x x? ? ?? ? ???消去 (超越函數(shù) )法 ! 例 8 解 . ,d)( l n ??? Znxx n計(jì)算?? x1nx)(lnxxnn 1)(ln 1? ,d)( l n 則記 ?? xxI nn d)( l n)( l nd)( l n 1?? ???? xxnxxxxI nnnn . )(l n 1??? nn Inxx : , 得到一個(gè)遞推關(guān)系式于是 . )(l n 1??? nnn InxxI遞推關(guān)系可以由低次冪函數(shù)的積分計(jì)算出高次冪函數(shù)的積分 . . d)( l n , 33 ?? xxI求例如 ,3)(l n 233 IxxI ?? ,2)(l n 122 IxxI ?? ,ln 01 IxxI ?? ,dd)( l n 00