【文章內(nèi)容簡介】 21 ? ? ??? ax xax x dd ???????a21 ???axax )(d????a21? ax ?ln ax ?? ln ? C?? ??? ax ax )(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常用的幾種配元形式 : ??? xbxaf d)()1( )(d bxa ?a1?? ? xxxf nn d)()2( 1nxdn1?? xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1萬能湊冪法 ?? xxxf dc o s)(sin)4( xsind?? xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?? xxxf ds e c)(t a n)6( 2xtand?? xeef xx d)()7( xed?? xxxf d1)(l n)8( xlnd例 6. 求 ? ? xln21 xlnd解 : 原式 = ? ?? xln2121 )ln21(d x?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 7. 求 .d3xxex?解 : 原式 = xe x d2 3? )3d(32 3 xe x??Ce x ?? 332例 8. 求 .dse c 6 xx?解 : 原式 = xdxx 222 s e c)1(t a n ??? xtandxxx t a nd)1t a n2(t a n 24? ???x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9. 求 .1 d? ? xex解法 1 xeeexxxd1)1(????? xd?? ????xxee1)1(dx? Ce x ??? )1ln (解法 2 xeexxd1? ???? ? ??????xxee1)1(dCe x ???? ? )1ln ()]1(ln [)1ln ( ????? ?? xxx eee兩法結(jié)果一樣 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?????????xx s i n11s i n1121?例 10. 求 解法 1 ?? xxx dc o sc o s2 ? ?? xx2si n1 si ndxsind????? xsin1ln21 ?? ? Cx ??? s in1lnCxx ???? s i n1 s i n1ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? xx t a nse c解法 2 xx t a ns e c ? )ta n( s e c xx ?xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c2? ???)ta n( s e cd xx ?同樣可證 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln或 Cx ?? 2t a nln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 11 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln答案的另一種形式 222 d)(2123xax? ??例 12. 求 .d)(23223? ? xax x解 : 原式 = ? ? 23)( 22 ax22 dxx21 222 )( aax ??? ??? 21)(21 22 ax )(d 22 ax? ??? 23)(2 222axa )(d 22 ax ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2c o s2c o s21( 241 xx ???例 13 . 求 解 : 224 )( c o sc o s xx ?? 2)2 2c o s1( x??)2c o s21( 2 4c o s141 xx ????)4c o s2c o s2( 212341 xx ????? ? xx dc o s 4 xxx d)4c o s2c o s2( 212341 ???? xd23 )2d(2c o s xx?? ?)4(d4c o s81 xx??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié) 常用簡化技巧 : (1) 分項(xiàng)積分 : (2) 降低冪次 : (3) 統(tǒng)一函數(shù) : 利用三角公式 。 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 c o ss in1 ??萬能湊冪法 ?? ? xxxf nn d)( 1 nnn xxf d)(1 ??? xxxf n d1)( nxnn xxf n d)( 11 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積化和差 。 分式分項(xiàng) 。 利用倍角公式 , 如 思考與練習(xí) 1. ? ? xx4 d)1( ? ? 24 d)2( xxxxx d4)3( 2? ?xxx d4)4( 22? ?? ? 24 d)5( xx? ? 24 d)6( xx x? ??? 22214)4(dxxxx ??? 2121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求 提示 : 法 1 法 2 法 3 10) x?10d x101?10(x10d ?x101?作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由例子看出，要想熟練運(yùn)用湊積分法，記為一些常見函數(shù)的微分是很重要的，例如 )(1 baxdadx ?? xdxdx 2?)(ln xdxdx ? )( ta nc os 2 xdxdx ?)1(2 xdxdx ?? xdx d x c o ss in ??等等。 例 1 求 .ln2dxx x? 解 把被積式中 ln2x看成 lnx的函數(shù)，剩下的因式 恰好是 lnx的微分 dlnx ，令 lnx＝ u ，則 ，于是 dxx1dudxx ?1Cuduuxdxdxx x ???? ??? 322231lnlnln 把 u ＝ lnx代入上式右端，得到 Cxdxx x ??? 32ln31ln 例 2 求 .s in dxx x?xdxdxxxdxx x ??? ?? s i n22 1s i n2s i n 解 把被積式中 看成 的函數(shù)，剩下部分 乘上 可以湊成 的微分 ，令 ＝ u ，則 ，于是 xsin dxx1x 21x xd x dxxdu 21?Cuduu ???? ? c o s2s in2 把 代入上式右端，得到 xu ?Cxdxx x ???? c o s2s in 例 3 求 .c o ss in52? x d xx 解 ??? x d xxxx d xx c o sc o ss i nc o ss i n 4252? ?? )( s in)s in1(s in 222 xdxx? ??? )( s i n)s i ns i n2(