【正文】 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? xx t a nse c解法 2 xx t a ns e c ? )ta n( s e c xx ?xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c2? ???)ta n( s e cd xx ?同樣可證 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln或 Cx ?? 2t a nln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 11 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln答案的另一種形式 222 d)(2123xax? ??例 12. 求 .d)(23223? ? xax x解 : 原式 = ? ? 23)( 22 ax22 dxx21 222 )( aax ??? ??? 21)(21 22 ax )(d 22 ax? ??? 23)(2 222axa )(d 22 ax ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2c o s2c o s21( 241 xx ???例 13 . 求 解 : 224 )( c o sc o s xx ?? 2)2 2c o s1( x??)2c o s21( 2 4c o s141 xx ????)4c o s2c o s2( 212341 xx ????? ? xx dc o s 4 xxx d)4c o s2c o s2( 212341 ???? xd23 )2d(2c o s xx?? ?)4(d4c o s81 xx??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié) 常用簡化技巧 : (1) 分項(xiàng)積分 : (2) 降低冪次 : (3) 統(tǒng)一函數(shù) : 利用三角公式 。 若 則 ( C 為任意常數(shù) ) C 稱 為 積分常數(shù) 不可丟 ! 例如 , ?? xe x d Ce x ??? xx d2 Cx ?331?? xx dsi n Cx ?? c o s記作 不定積分的幾何意義 : 的原函數(shù)的圖形稱為 xxf d)(? 的圖形 的所有積分曲線組成 的平行曲線族 . yxo 0x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的 積分曲線 . 例 1. 設(shè)曲線通過點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線 斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 , 求此曲線的方程 . 解 : 所求曲線過點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲線為 12 ?? xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo)2,1( 性質(zhì) 1 一個(gè)函數(shù)積分后導(dǎo)數(shù)或微分等于這個(gè)函數(shù)。 — 被積表達(dá)式 . — 積分變量 。 1 第一換元積分法 如果不定積分 用基本積分法不易求得，但被積表達(dá)式可分解為 ? dxxf )(作變量代換 ，得到 )( xu ????? ??? duugdxxxgdxxf )()()]([)( ??則 ( ) ( )g u d u G u C???( ) ( ) ,f x d x g u d u???( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ( ) ) ,f x d x g x x d x g x d x? ? ? ????? ? ?而 可以求出，不妨設(shè) ()g u d u?( ) [ ( ) ]G u C G x C?? ? ? ?這一步常稱為“湊積分”，第二步就是求不定積分 。 容易計(jì)算 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分法 第 四 章 例 1. 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx dsinCxxx ??? c o ss i n思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 2. 求 .dln xxx?解 : 令 ,ln xu ? xv ??則 ,1xu ?? 221 xv ?原式 = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 3. 求 .da rc t a n xxx?解 : 令 ,a r c ta n xu ? xv ??則 ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ 原式 xx a r c t a n21 2? ? ?? xxx d121 22xx a rc t a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rc t a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 4. 求 .dsin xxe x?解 : 令 ,sin xu ? xev ?? , 則 ,c o s xu ?? xev ?∴ 原式 xe x sin? ?? xxe x dc o s再令 ,c o s xu ? xev ?? , 則 ,s in xu ??? xev ?xe x sin? ??? xxexe xx ds i nc o s故 原式 = Cxxe x ?? )c o s(s i n21說明 : 也可設(shè) 為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型 必須一致 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 4. 求 .dsin xxe x?解 : 令 ,sin xu ? xev ?? , 則 ,c o s xu ?? xev ?∴ 原式 xe x sin? ?? xxe x dc o s再令 ,c o s xv ?? xeu ? , 則 ,xeu ?? xv sin?xe x sin? )ds ins in( ??? xxexe xx故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd.dsin xxe x??? xxe x ds in解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?例 5. 求 解 : 令 ,a rc c o s xu ? 1??v , 則 ,21 1 xu ???? xv?原式 = xx a rc c o s ? ?? xxx d21xx a r c c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a r c c o s? Cx ??? 21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反 : 反三角函數(shù) 對(duì) : 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪 : 冪函數(shù) 指 : 指數(shù)函數(shù) 三 : 三角函數(shù)