不定積分的概念與性質(zhì)(參考版)
2025-03-25 01:15本頁面
【正文】 2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 。 例 3 求 .1? ? dxxx 解 Cttdtt ?????? ? )a r c t a n(2)1 11(2 2Cxx ????? )1a r c t a n1(2tx ?? 1令 dttttdtt ?????? 2222 12)1(1?? dxxx 1 例 4 求 .21 3? ?? xdx 解 tx ??3 2令dtttttd ?? ???? 131 )2(23??? 3 21 xdxdtttdttt )1 11(31 1132 ??????????Cttt ????? )]1ln (2[32 例 5 求 .1? ? xedx 解 例 6 求 .)( 33dxxxx x? ? 解 6tx ?令dtttdtttt t ?? ??? )1( 6)( 62362Cxxx ???????? )]21l n (22 )2([3 333 2te x ??1令dttttd ?? ??? 12)1ln ( 22?? xedx1Ctt ???? 11lnCeexx??????1111lndxxxx x? ? )( 33 例 7 求 .? ?? dxxa xa 解 Cttdttt ??????? ? )]1l n ([ l n6)111(6Cx x ??? 1ln6 66Ctt ???? )]1ln ([ ln6?? ????? dxxa xadxxa xa 22?? ???? dxxa xdxxa a 2222? ???? 2222 )(21a r c s inxaxadaxaCxaaxa ???? 22a r c s in例 8. 求 .)0(d22 ??? axxa解 : 令 ,),(,s i n 22 ????? ttax 則 taaxa 22222 s in??? ta cos?ttax dc o sd ?∴ 原式 ta c o s?? tta dc o s? tta dc o s 22 ??? ? Ca ?? 2 4 2si n2 tt ?a x22 xa ?taxarcsi n Cxax ??? 222122a?ttt c o ss i n22s i n ?2 ax? a xa22 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9. 求 解 : 令 ,),(,t a n 22 ????? ttax 則 22222 ta n ataax ??? tsec?ttax ds e cd 2?∴ 原式 ?? ta 2sectasec td tt dse c??1t a ns e cln Ctt ???ax22 ax ?t?ln? 22 ax ?)ln( 1 aCC ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? xa ? 1C?例 10. 求 解 : 令 ,),0(,s e c 2??? ttax 則 22222 s e c ataax ??? ttan??xd ttta dta ns e c∴ 原式 t?? d tta ta ns e ctatan tt dse c??1t a ns e cln Ctt ???22 ax ?t1 ln C??)ln( 1 aCC ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22 ax ?a?xa)ax ?? ??? 21)1( 22 ta221a例 11. 求 ? ? xxxa d422解 : 令 ,1tx ? 則 原式 ?? tt d12??ttta d)1( 2122? ???42112tta ?Cata ????2223)1( 23)1(d22 ?ta機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 12. 求 解 : 令 ,1tx ? 得 原式 ttat d122? ???? ???? 1 )1(d2 1 22222 tataa Ctaa ???? 11 222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 : 原式 xx d2)1( 12? ??? 2)2( )1(d ?x21? arctan21?x C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 13. 求 例 14. 求 解 : ? ?? 22 3)2()2(d21xxICxx ???? 942ln21 2例 15. 求 解 : 原式 = ? ? 22 )()()(d21?x2521?x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 16. 求 解 : 原式 ? ????? xxee21d Ce x ??? ?a r c s in例 17. 已知 求 解 : 兩邊求導(dǎo) , 得 則 )1( xt ?令1( 1)??? (代回原變量 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxx d11)132??備用題 1. 求下列積分 : )1(d1131 33 ??? ? xxCx ??? 132 3xxxx d2132)22? ??? xxxd21 2? ??? 5)22( ??? x? ?? ???? 2221)21d(xxxx?? 52)1(2 ?? x)1d( ?x2212 xx ???? Cx ???21a rc s i n5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié) 由導(dǎo)數(shù)公式 vuvuuv ?????)(積分得 : xvuxvuuv dd ???? ??分部積分公式 xvuuvxvu dd ?? ????或 uvvuvu dd ?? ??1) v 容易求得 。 例 1 求 .ln2dxx x? 解 把被積式中 ln2x看成 lnx的函數(shù)，剩下的因式 恰好是 lnx的微分 dlnx ，令 lnx＝ u ，則 ，于是 dxx1dudxx ?1Cuduuxdxdxx x ???? ??? 322231lnlnln 把 u ＝ lnx代入上式右端，得到 Cxdxx x ??? 32ln31ln 例 2 求 .s in dxx x?xdxdxxxdxx x ??? ?? s i n22 1s i n2s i n 解 把被積式中 看成 的函數(shù)，剩下部分 乘上 可以湊成 的微分 ，令 ＝ u ，則 ，于是 xsin dx
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