不定積分的概念與性質(zhì)42不定積分的換元積分法43不定(參考版)
2025-07-21 00:00本頁(yè)面
【正文】 x u v u 39。 ( ) d ( )??? ? ???f x x f t t t F t C1 ()? ???????F x C應(yīng)用第二類(lèi)換元法求不定積分的步驟為 ? ?( ) d ( ) 39。xf d )())((? ??)(1 xt ?? ?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且 定理 2 )(tx ?? 39。xf ???? ?)(dd xFu ? xuuFu dd)(dd ?)(xx ??令 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 根據(jù)不定積分的定義，則有 ? ? ? ? .)(d)( )( CxFxx39。 x x F x C? ? ????定理 1 證 依題意有 )()d( ，CuFuuf ???即有 ),()(dd ufuFx ?又由復(fù)合函數(shù)微分法可得 )()( x39。 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù) f (x)的原函數(shù)圖形稱為 f (x)的積分曲線 ,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù) ,而是無(wú)窮多個(gè) (全部 )原函數(shù) ,通常說(shuō)成一族函數(shù) ,反映在幾何上則是一族曲線 ,這族曲線稱為 f (x)的 積分曲線族 . 在相同的橫坐標(biāo)處 ,所有積分曲線的斜率均為 k,因此 ,在每一條積分曲線上 ,以 x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖） .f (x)為積分曲線在 (x, f (x))處的切線斜率 . 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 21d2? ? ??所 以 y x x x C ( 2 , 3 ) 1 C ?把 代 入 上 述 方 程 ， 得，例 13 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn) (2,3),且其上任一點(diǎn)的切線 斜率等 于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程 . 解 設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意可知 ()?y f x? ，y39。 f xf x x f x x????或 ，特別地，有 x C???( 2) ( ) d ( ) d ( ) ( )F39。xx ??????????? 時(shí)，有當(dāng)解 )0( lnd1 .1)( l n0?????? xCxxxx39。x x解 54 d.5xCxx ???所 以前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 3 求 .d1 xx?? ? ,1)1(1)(1 )l n(0 xx39。 x 不定積分的概念與性質(zhì) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) (2)如果 f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù) ， 那么原函數(shù)不是唯一的 ,且有無(wú)窮多個(gè) 注 :(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在．具體理由將在下一章給出． 例如 而 在 上 是 的原函數(shù) ( , )?? ??s in 1 , s in 2xx??sinx cosxin 1 , s in 3xx??也是它的原函數(shù) 即 加任意常數(shù)都是 的原函數(shù) . sinxcosx (3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng) . 此結(jié)論由 Lagrange定理推論可證 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定義 2 如果函數(shù) F(x)是 f (x)在 區(qū)間 I 上 的一個(gè)原函數(shù)，那么 f (x)的全體 原函數(shù) F(x) ＋ C(C為任意常數(shù) )稱為 f (x)在 區(qū)間 I 上 的不定積分 . 記作 ( ) d? f x x其中記號(hào) 稱為積分號(hào) ， f (x)稱為被積函數(shù)， f (x)dx稱為被積表達(dá)式， x稱為積分變量， C為積分常數(shù) . ?( ) d ( )??? f x x F x C ，即 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 2 求 21 ?? xx21( a r c t a n ) ( )1? ? ? ? ? ? ??，x 39。 不定積分的概念與性質(zhì) 不定積分的換元積分法 不定積分的分部積分法 積分表的用法 第 4章 不定積分 結(jié)束 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 又如 d(sec x)=sec x tan xdx， 所以 sec x是 sec x tan x的原函數(shù) . 定義 設(shè) f (x) 在某 區(qū)間上 有 定義 ，如果對(duì)該區(qū)間的任意點(diǎn) x都有 F39。(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 則稱 F(x)為 f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù) . 原函數(shù)的概念 例如 : ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù) . ,sin x是 cos x在 上的原函數(shù) . ( , )?? ??32()3x x? ? 2x33x( , )?? ??( s in ) c o s?x 39。 xx解 2 1d ar c t an .1? ? ? ? ? ?????所 以 在 上 有xx x Cx例 1 求 .d4 xx?54()5?由 于 ，39。xx39。xx 時(shí)，有當(dāng)1 d ln ( 0 ) .x x C xx ? ? ??所 以???????,0 )l n (,0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng)1 d ln ( ) .x x Cx ? ? ??又前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 3 不定積分與微分的關(guān)系 微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算 . ( 1 ) [ ( ) d ] ( ) d ( ) d ( ) df x x 39。 x x F x CF x F x C??????或 ，前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè)
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