[理學(xué)]新不定積分分部積分(參考版)
2024-12-11 00:53本頁面
【正文】 2a r ct a n Capxab???,1)2( ?n ? ??? dxqpxxNMxn)( 2122 ))(1(2 ????? natnM .)(122? ?? dtatb n這五類積分均可積出 , 且原函數(shù)都是初等函數(shù) . 例 14 求積分 .dxxxxx????334 2? ??? xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 ??? xx例 15 求 ? ?? ?? xdxx xx 45 52 243? ?? ?? xxx x d45 52 242? ?? ??? 45 )55d(21 2424xxxx45ln21 24 ??? xx 2a r c t a n21 x Cx ?a rc t a n解 : 說明 : 將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分 雖可行 , 但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積 函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 簡便的方法 . (1) 三角函數(shù)有理式的積分 三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為 )c o s,(s i n xxRxxxR d)c o s,(si n?令 2tan xt ? 萬能代換 t 的有理函數(shù)的積分 21212122222 xxx,xxxtantanc ostantans i n?????（萬能公式） 令 ,2ta n xt ? 則 xsin,21 2 tt??xcos ,2211tt????xd tt d122?? ?dxxxR )c o s,( si n .dtttt,ttR2222 121112?????????????例 16 求 .d)c o s1(si n si n1? ?? xxx x解 :令 ,2ta n xt ? 則 xsin 222t an1t an2xx??212tt??xcos 2222t an1t an1xx???2211tt????xd tt d1 2 2?dxxx x? ?? )c o s(s i n s i n11?? 2121tt??212tt? )1( 2211tt???tt d21 2??ttt d1221 ????????? ? ????21 221t t2? tln? C????2t a n41 2 x?2tanx? Cx ??2t a nln21例 17 求 .)0(d)c o ssi n( 1 2 ??? baxxbxa解 xt tan?令 原式 ?? d x2)ta n( bxa ? x2cos? ?? 2)( d bta t Cbtaa ???? )( 1Cxbxaa x ???? )c o ssi n( c o s說明 : 通常求含 xxx,x c o ss i nc o ss i n 22 及的積分時 , xt tan? 往往更方便 . 的有理式 用代換 例 18 求 解 : ?? 原式xx d2cos1222 ta n bxa ?? ?? 222 )(t a n t a nd1abxxa)t a na rct a n (1 xbaba? C?例 19 求積分 .si n3si n si n1? ?? dxxx x解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA ????? ?? dxxx xsi n3si n si n1 ? ?? dxxx xco s2si n2 si
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