【正文】 當 4?x 時， 2?t . 于是)3ln2(2)1ln(2d)111(21d21d402。 （ 2 ） ? xxf d)( ≤ ?baxxg d)( . 一、 變上限的定積分 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 微積分基本公式 引例 設(shè)物體以速度 )( tvv ? 作直線運動，要求計算],[ 21 TT 時間內(nèi)的路程 s . 從定積分概念出發(fā)，由前面已討論的結(jié)果知道 [ 21 , TT ]所經(jīng)過的路程為 21( ) dTTv t t? . 若從不定積分概念出 發(fā)， 則知道函數(shù)為? ?? ,)(d)( Ctsttv 其中 )()( tvts ?? ，于是 [ 21 , TT ] 時間內(nèi)所走路程就是 )()( 12 TsTs ? . 綜合上述兩個方面，得到 ? ??21)()(d)( 12TT TsTsttv . 這個等式表明速度函數(shù) )( tv 在 [ 21 , TT ] 上的定積分 , 等于其原函數(shù) )( ts 在區(qū)間 [ 21 , TT ] 上的改變量 . 那么，這一結(jié)論有沒有普遍的意義呢？ 設(shè)函數(shù) )( xf 在 [ ba , ] 上連續(xù) , ?x [ ba , ] ，于是積分?xaxxf d)( 是一個定數(shù)，這種寫法有一個不方便之處，就是x 既表示積分上限，又表示積分變量 . 為避免混淆，我們把積分變量改寫成 t ，于是這個積分就寫成了 ?xattf d)( . 當 x 在 [ ba , ] 上變動時，對應(yīng)于每一個 x 值 , 積分?xattf d)( 就有一個確定的值，因此 ?xattf d)( 是變上限 x 的一個函數(shù)，記作 )( xΦ = ?xattf d)( （ a ≤ x ≤ b ）通常稱函數(shù) )( xΦ 為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示 ( 見下頁 ). 一、變上限的定積分 y ) ( x f y ? x O x a b ) ( x Φ 定理 1 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 [ ba , ] 上連續(xù)，則變上限積分 )( xΦ = ?xattf d)( 在 [ ba , ] 上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是 ? ???xaxfttfxxΦ )(d)(dd)( （ a ≤ x ≤ b ） . 證 當上限 x 獲改變量 x?時，函數(shù) )( xΦ 獲得改變量為 .d)(? ???? xxx ttfΦ由積分中值定理得 xfΦ ??? )( ? （ ? 在 x 及 xx ?? 之間） , )( ?fxΦ???. 再令 0?? x , 從而 x?? ，由 )( xf 的連續(xù)性，得 0li m?? x???xΦ)()(li m xffx????, 即 )()( xfxΦ ?? ，證畢 . 如右圖所示 : y O x a b ? x x ? ? x ) ( x Φ φ ( x ) 推論 連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 . 且函數(shù))( xΦ = ? xattf d)( 即為其原函數(shù) . 例 1 計算 )( xΦ = ? x tt0 2 ds in 在 x = 0 , 2 π 處的導(dǎo)數(shù) . 解 因為?xttx 02 ds indd= 2s i n x , 故 00s in)0( 2 ???Φ ；224πs i n)2π( ???Φ . 例 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) ? ?? xa att txΦ e )0(dln)( ； 解 這里 )( xΦ 是 x 的復(fù)合函數(shù)，其中中間變量xu e? ，所以按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 有 xxtttuxΦ xxxxua??? ? eeelnd)e(d)dln(dddd. (2) )0(ds i n)( 1 2 ?? ? xxΦ x ?? ? . 解 ???21ds indddd xxxΦ??? )(s in 22????xx??? xxxxx s i n22s i n2????? . 定理 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，又 )( xF是 )( xf 的任一個原函數(shù)，則有 )()(d)( aFbFxxfba??? . 證 由定理 1 知，變上限積分 ??xattfxΦ d)()( 也是)( xf 的一個原函數(shù)，于是知0)()( CxFxΦ ?? , 0C 為一常數(shù) , 即 ? ??xaCxFttf0)(d)( . 我們來確定常數(shù) 0C 的值，為此，令 ax ? ，有 ? ??aaCaFttf 0)(d)( ，得 )(0 aFC ?? . 因此有 ? ??xaaFxFttf )()(d)( . 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 再令 bx ? ，得所求積分為 ? ??baaFbFttf )()(d)( . 因此積分值與積分變量的記號無關(guān)，仍用 x 表示積分變量，即得 ? ??baaFbFxxf )()(d)( , 其中 )()( xfxF ?? . 上式稱為牛頓 萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式 . 為計算方便，該公式常采用下面的格式： ? ???baba aFbFxFxxf )()()(d)( . 例 1 求定積分： ( 1) ? ?212d1 )( xxx ； （ 2 ） ? ?3221 )1(dxxx ；（ 3 ） ??112 d xx . 解 （ 1 ） ? ?? ???212122d)12(d12)(xxxxxx 654)123(213????xxx . （ 2 ） ? ????3221322111)1(dxxxx.x1xd )(d)(11232212??? xx 3221a r c s in2 x? .)21a r c s in32( a r c s in2 ??? （ 3 ） xx ?2在 ]1,1[ ? 上寫成分段函數(shù)的形式 ??????????,10,01,)(xxxxxf 于是 ? ? ?? ????1101102dd)(d xxxxxx 101210222?????xx. 例 2 計算 2c o s10del i m2xtx tx? ??. 解 因為 0?x 時 , 1c o s ?x , 故本題屬 00 型未定式 , 可以用洛必達法則來求 . 這里??xttc o s1de2是 x 的復(fù)合函數(shù) , 其中 xu c o s? , 所以 ???????xxxtxxtxc o s1c o sc o s222es i n)39。 (3) ?π20dc o s xx 。 (4) 取極限 當 ? ? 0ma x1????? init? 時，上述總和的極限就是 s 的精確值，即 inii tvs ?? ???)(li m10??. ?????321xxxannxx ??? 1b? , 分 ],[ ba 為 n 個小區(qū)間],[1 iixx?),2,1( ni ?? . 記 ? ?iniiiixnixxx ?????????11m ax),2,1( ?? , 再在每個小區(qū)間 ],[1 iixx?上任取一點 i? ，作乘積 ii xf ?)( ? 的和式： 定義 設(shè)函數(shù) )( xfy ? 在 [ ba , ] 上有定義，任取分點 ,)(1ini ixf ????二、定積分的概念 如果 0?? 時 , 上述極限存在（即，這個極限值與 ],[ ba的分割及點 i? 的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分，記為 ,)(limd)(10iniibaxfxxf ?? ??????其中稱 )( xf 為被積函數(shù) , xxf d)( 為被積式， x 為積分變量，],[ ba 為積分區(qū)間， ba , 分別稱為積分下限和上限 . 定積分定義的說明： ( 1 ) 定積分表示一個數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分上、 下限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如：???102102dd ttxx . 一般地，? ??babattfxxf d)(d)( . ( 2 ) 定義中要求積分限 ba ? ，我們補充如下規(guī)定： 當 ba ? 時，??baxxf 0d)( , 當 ba ? 時，? ???baabxxfxxf d)(d)( . ( 3 ) 定積分的存在性：當)( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)或只有有 限個第一類間斷點時 ,)( xf在],[ ba上的定積分存在（也稱可積） . 如果 0)( ?xf ，則 ( ) d 0baf x x ?? , 此時 ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A ，即 ? ?baAxxf d)( . x O y a b A y= f ( x) 三、定積分的幾何意義 如果 )( xf ≤ 0 ， 則 ( ) d 0baf x x ?? ， 此時 ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A 的 負值 ，即 ( ) dbaf x x A??? . x O y a b A y= f ( x) 1 2 3( ) d .ba f x x A A A? ? ??如果 )( xf 在 ],[ ba 上有正有負時，則 ( ) dbaf x x? 表示由曲線 )( xfy ? ，直線 ,x a x b??及 x 軸所圍成的平面圖形的面積位于 x 軸上方的面積減去位于 x 軸下方的面積，如右圖所示，即 3 A ) ( x f y ? O a b x y ? ? ? 2 A 1 A 性質(zhì) 1 函數(shù)的代數(shù)和可逐項積分，即 ? ? ????bababaxxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([ . 性質(zhì) 2 被積分函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外面，即 ? ??babaxxfkxxkf d)(d)( （ k 為常數(shù)） . 性質(zhì) 3 （積分區(qū)間的分割性質(zhì)） 若 bca ?? ，則 ? ? ???bacabcxxfxxfxxf d)(d)(d)( . 注：對于 cba , 三點的任何其他相對位置，上述性質(zhì)仍成立，譬如： cba ?? ，則 ? ? ? ? ?????c