【正文】 回代令上述解法的特點(diǎn)是引入新變量 )( xu ?? , 從而把原積分化為關(guān)于 u 的一個(gè)簡單的積分， 再套用基本積分公式求解 , 現(xiàn)在的問題是，在公式 ? ?? Cx xx ede 中，將 x 換成了 )( xu ?? , 對應(yīng)得到的公式 ? ?? Cu uu ede 是否 還成立 ?回答是肯定的 ,我們有下述定理： 定理 如果 ? ?? CxFxxf )(d)( ，則 .)(d)(? ?? CuFuuf其中 )( xu ?? 任一個(gè)可微函數(shù)． 證 由于 ? ?? CxFxxf )(d)( , 所以xxfxF d)()(d ? ．根據(jù)微分 形式不變性 , 則有： uufuF d)()(d ? ．其中 )( xu ?? 是x 的可微函數(shù)，由此得 .)()(dd)(? ? ??? CuFuFuuf 這個(gè)定理非常重要，它表明：在基本積分公式中， 自變量 x 換成任一可微函數(shù) )( xu ?? 后公式仍成立． 這就大大擴(kuò)充了基本積分公式的使用范圍．應(yīng)用這一結(jié)論， 上述例題引用的方法 , 可一般化為下列計(jì)算程 序： )()(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf ????? ?? ?? 令湊微分 .)]([)(d)( CxFCuFuuf ??? ?回代 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法． 例 3 求 ? xxx ds i nc o s 2 . 解 設(shè) ,c o s xu ? 得 xxu dsi nd ?? , .c o s3131dds i nc o s 3322? ? ???????? CxCuuuxxx方法較熟悉后 , 可略去中間的換元步驟 , 直接湊微分成積分公式的形式． 例 4 求 ? ? xx x 2ln1 d ． 解 ? ?? ?2 2 2d 1 d 1d l n1 l n 1 l n 1 l na r c s i n l n .xxxxx x x xxC???? ????? ? ???? ? ? 例 5 求 ? xx x ds i n ． 解 ?? ???? Cxxxxxxc o s2ds in2ds in． 湊微分法運(yùn)用時(shí)的難點(diǎn)在于原題并未指明應(yīng)該把哪一部分湊成 )(d x? , 這需要解題經(jīng)驗(yàn) , 如果記熟下列一些微分式 , 解題中則會(huì)給我們以啟示． ，)(d1d baxax ?? ，)(d21d 2xxx ? ，)(d2dxxx? ，)e(dde xx x ? ，|)|( lndd1xxx? ，)(c o sdds in xxx ?? ，)( s i nddc o s xxx ? ，)( ta ndds e c 2 xxx ? ，)( c o tddc s c 2 xxx ?? ，)( a r c s ind1d2xxx?? )( a r c ta nd1d2xxx??． 下面的例子 ,將繼續(xù)展示湊微分法的解題技巧 ． 例 6 求下列積分： (1) ；)0(d22???axax (2) ；?? 22dxax (3) ；? xx dta n (4) ；xx dc o t? (5) ? ；xx ds e c (6) ? .dc s c xx ??????????????????????????axaxxaxaxaxd11d11d2222 解 （ 1） = .ar c s i n Cax ? 類似得 (2) .ar c t an1d 22 Caxaxa x ???? (3) .|c o s|lnc o s)( c o sddc o ss indt a n ? ?? ?????? Cxxxxxxxx 類似得 (4) .|s i n|lndc o t Cxxx ??? (5) xxx xxxxxx xxxxx ds e ct an t ans e cs e cds e ct an )t an( s e cs e cds e c2? ? ? ???? ?? .|t a ns e c|ln)s e c( t a nd)s e c( t a n 1? ?????? Cxxxxxx類似得 (6) ? ??? Cxxxx |c o tc s c|lndc s c ． 本題六個(gè)積分今后經(jīng)常用到，可以作為公式使用． 例 7 求下列積分： (1) ? ? ；xax d122 (2) ? ??；xxxd432(3)1d1e xx??； (4) ? ；xx ds in 2 (5) ??；xxdc o s11(6) ? xxx d3c o s5s in ． 解 本題積分前，需先用代數(shù)運(yùn)算或三角變換對被 積函數(shù)做適當(dāng)變形． ? ? xaxaxaxax d112 1d11 22 ?? ?????? ?????? ? ? ? ]dd[21 ? ???????axaxaxaxaCaxaxa ????? ]ln[ l n21.ln21 Cax axa ????（ ２） xxxxxxxx d44d3d43222 ? ?? ?????? ? ?22 4d4212a r c s i n3 xxx ????? ?.42ar c s i n3 2 Cxx ????（３） xxx xxxxxx de1e1de1ee1de11 ? ?? ?????????????? ? ?xxx e1de1 1d ???? ? ?? ? .e1ln Cx x ????（４） ? ? ? ????? xxxxxxx d2c o s21d21d2 2c o s1ds i n 2 ? ???? xxx 2d2c o s4121.2s i n4121 Cxx ???（５） ?? ? ????????????????????? 2d2c o s12c o s2ddc o s1122xxxxxx .2ta n Cx ??（６） ? ?? ? ?? xxxxxx d2s i n8s i n21d3c o s5s i n （積化和差） ? ? ? ??????? ?? ? ? xxxx 2d2s i n218d8s i n8121.2c o s418c o s161 Cxx ????例 8 計(jì)算積分 ? ? ．2d xx x 解一 ? ?????????????????222121d22141ddxxxxxxx ? ?? ? ? ? .12ar c s i n12112d2? ??????? Cxxx解二 因?yàn)?,d2d xxx ? 所以 ? ? .ar c s i n2)(1d21dd22 Cxxxxxxxxx ???????? ? ? 本題說明 ， 選用不同的積分方法 ， 可能得出不同形式 的積分結(jié)果 ． 例 求 ? ? xdx1 解 被積表達(dá)式的分母含有根式，要先作代換去掉根號。設(shè) 0?? tx ，即 2tx ? ，則 t d tdx 2? ， 于是 ????? tt d txdx121 dtt? ??? )111(2 Ctt ???? 1ln22 Cxxxt ???? 1ln22回代 ２ ． 第二換元積分法 第一換元積分方法是選擇新的積分變量 ? ? ,xu ?? 但對有些被積函數(shù)則需要作相反方式的換元，即令 ? ? ,tx ??把 t 作為新積分變量，才能積出結(jié)果，即 ? ?? ?dxtf x x???換元 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11d. txf t t t F t C F x C?? ? ????? ???? ???? ??? 積分回代這種方法叫第二換元法． 使用第二換元法關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇變換函數(shù) ? ? ,tx ?? 對于 ? ? ,tx ?? 要求其單調(diào)可導(dǎo)， ? ? ,0?? t? 這樣就能保證 其反函數(shù) ? ?xt 1?? ? 存在 ． 下面通過一些例子來說明． 例 ９ 求 ? ? xxx d1 . 解 為了消去根式，可令 ? ? ,02 ?? ttx 則 .d2d ttx ? 于是 ? ?? ????? tttttttxxx d12d21d1 2? ?? ? ?????????????? tttttt d1112d1112 22 2 2 l n 1t t t C? ? ? ? ?2 2 l n 1 .tx x x x C? ? ? ? ?回 代例１０ 求 ? ?? xxx d13 13 ． 解 令 ,133 tx ?? 即 ? ?,131 3 ?? tx 則 ttx dd 2? 代入后，得 ? ?3 4 5 21 1 1 1d 2 d3 1 5 331x x t t t t t Cx? ? ? ? ? ????? ? ? ? .21351 3 2 Cxx ????由以上二例可以看出 ： 被積函數(shù)中含有被開方因式 為一次式的根式 n bax ? 時(shí) , 令 tbaxn ?? 可以消去根號， 從而求得積分 ． 40 求 ? ? 3 xx dx令 ,6 tx ? 則 ,6, 52336 dttdxtxtxtx ????因此得 ? ? 3 xx dx ??? 2356ttdtt? ? ?????? ?????? ??? dttttdttt 11161 1)1(6 23Ctttt ?????? )1l n (6632 23Cxxxx ?????? )1l n (6632 663例 11 解 ? ?? 16 3t dtt下面 討論被積函數(shù)含有被開方因式 為二次式的根式的情況． 例 １ 2 求 ? ? .d22 xxa 解 作三角變換，令 ππsi n ,22x a t t??? ? ? ?????那么 ,dc o sdc o s22 ttaxtaxa ??? 且于是 ttattaxxa d2 2c o s1dc o sd 22222 ?? ? ???? 22sin 2 .24aat t C? ? ?為把 t 回代成 x 的函數(shù)，可根據(jù)axt ?s i n , 作輔助直角三角形（如右圖）， 得 axat22c o s?? ． 所以 Cxaxaxaxxa ?????? 2222221a r c s i n2d . x a a 2 x 2 例１ 3 求? ?? ?0d2322??? axax. 解 令 2ππt a n d se c d22x a t t x a t t??? ? ? ? ?????，則 ． 所以 ? ?Ctattattataxax???????? s in1dc o s1ds e cs e cd233322322． 由 右圖所示的直角三角形，得 ,s i n 22 xa xt ??故 ? ?.d 2222322Cxaaxxax ????? x a a 2 x 2 + t