【正文】 422xx ) 于是 xxx x d42 232? ?? ? = ????????42d5d42222322 xxxxxxx = ? ? ? ??? ?????? ?? 312 d542 42d23 222xxxxxxx =23 42ln 2 ?? xx ? ? ? ?? ?? 22 31d5xx = 23 42ln 2 ?? xx Cx ??3 1ar c t an35 . 例 21 求2321 d2x xx x x???? . 解 由前面的情況（ 2 ）知， ? ? 223212121??????xxxxxx . 所以 xxxxxd21232? ???=? ?xxxxd112d12???? = Cxx ??? 12ln . 例 22 求 ? ?? xxx x d)1)(21( 22． 解 被積函數(shù)是真分式，分母中21 x? 為二次質(zhì)因式， 所以 ? ?? ? ,121121 222xCBxxAxxx???????將等式兩邊同乘以 ? ?? ?2121 xx ?? ，得 ? ? ? ?? ? ,211 22 xCBxxAx ????? 分別令 ?x 21，得 A = 51； 0?x 得 CA ??0 ，即51???? AC 。 1?x , 得 ?? A21 )(3 CB ? , 求得 52?B ． 所以 ? ?? ? 222151522151121 xxxxxx???????. 于是 ? ?? ????xxxxd12122 = xxxxxd1125121d512?????? =? ? ? ???? ????????2221d5111d512121d2151xxxxxx = Cxxx ????? a r c t a n511ln5121ln101 2. 說明 ：（ 1 ）有些不定積分，如2 ede d , d , ,lnxx xxxxx?? ? ? 4d1xx?? 等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函 數(shù)表達(dá)所求的原函數(shù)，這時稱 “ 積不出” . （ 2 ）在工程技術(shù)問題中，我們還可以借助查積分表來求一些較復(fù)雜的不定積分，也可以利用數(shù)學(xué)軟件包在計算機(jī)上求原函數(shù)． 思考題 1. 第一換元法 （ 即湊微分法 ） 與第二換元法的區(qū)別是 什么 ？ 2. 應(yīng)用分部積分公式 ?? ?? uvuvvu dd 的關(guān)鍵是什么？ 對于積分 ? ,d)()( xxgxf 一般應(yīng)按什么樣的規(guī)律去設(shè) u 和 vd ？ 一、 定積分的實際背景 二、 定積分的概念 三、 定積分的幾何意義 四、 定積分的性質(zhì) 定積分的概念 定積分的概念 1. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形 :若圖形的三條邊是直線段 ， 其中有兩條垂直 于第三條底邊 ， 而其第四條邊是曲線 ， 這樣的圖形稱為曲 邊梯形 ， 如左下圖所示 . y O M P Q N B x C A A 推廣為 一、定積分的實際背景 曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著 y軸方向切割成許多窄窄的長條，把每個長條近似看作一個矩形，用長乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細(xì)，誤差越小，于是當(dāng)所有的長條寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了 .如下圖所示： 0 x 1 x 2 x x n O x y y = f (x) 0 x = a x n =b 曲邊梯形面積的確定步驟： ( 1 ) 分割 任取分點 bxxxxxann???????? 1210? ,把底邊 [ a , b ] 分成 n 個小區(qū)間 [1x , 2x ]( ),2,1 ni ?? . 小區(qū)間長度記為 )。,2,1(1nixxxiii?????? (2) 取近似 在每個小區(qū)間 [iixx ,1?] 上任取一點 i?豎起高線)(if ?, 則得小長條面積iA?的近似值為 iiixfA ??? )( ? ( ni ,2,1 ?? ) 。 (3) 求和 把 n 個小矩形面積相加 ( 即階梯形面積 )就得到曲邊梯形面積 A 的近似值 iniinnxfxfxfxf ??????????)()()()(12211???? ? 。 (4) 取極限 令小區(qū)間長度的最大值? ?inix????1ma x? 趨于零 , 則和式 iniixf ???)(1?的極限就是曲邊梯形面積 A的精確值，即 01l i m ( ) .niiiA f x??????? 2．變速直線運動的路程 設(shè)某物體作直線運動，已知速度 )( tvv ? 是時間間隔 [ 21 , TT ] 上的連續(xù)函數(shù)，且 )( tv ≥ 0 ，要計算這段時間內(nèi)所走的路程 . 解決這個問題的思路和步驟 與 上例類似： ( 1 ) 分割 任取分點212101TtttttTnn????????? ，把 [21, TT ] 分成 n 個小段，每小段長為 1????iiittt （ ni ,2,1 ?? ） 。 ( 2 ) 取近似 把每小段 [ iitt ,1?] 上的運動視為勻速，任取時刻 ? ?iiitt ,1??? ，作乘積iitv ?)( ? ，顯然這小段時間所走路程 is? 可近似表示為 iitv ?)( ? （ ni ,2,1 ?? ） 。 ( 3 ) 求和 把 n 個小段時間上的路程相加，就得到總 路程 s 的近似值，即 iniitvs ????)(1? 。 (4) 取極限 當(dāng) ? ? 0ma x1????? init? 時，上述總和的極限就是 s 的精確值，即 inii tvs ?? ???)(li m10??. ?????321xxxannxx ??? 1b? , 分 ],[ ba 為 n 個小區(qū)間],[1 iixx?),2,1( ni ?? . 記 ? ?iniiiixnixxx ?????????11m ax),2,1( ?? , 再在每個小區(qū)間 ],[1 iixx?上任取一點 i? ，作乘積 ii xf ?)( ? 的和式： 定義 設(shè)函數(shù) )( xfy ? 在 [ ba , ] 上有定義，任取分點 ,)(1ini ixf ????二、定積分的概念 如果 0?? 時 , 上述極限存在（即，這個極限值與 ],[ ba的分割及點 i? 的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分，記為 ,)(limd)(10iniibaxfxxf ?? ??????其中稱 )( xf 為被積函數(shù) , xxf d)( 為被積式， x 為積分變量，],[ ba 為積分區(qū)間， ba , 分別稱為積分下限和上限 . 定積分定義的說明： ( 1 ) 定積分表示一個數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分上、 下限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如：???102102dd ttxx . 一般地，? ??babattfxxf d)(d)( . ( 2 ) 定義中要求積分限 ba ? ，我們補(bǔ)充如下規(guī)定： 當(dāng) ba ? 時，??baxxf 0d)( , 當(dāng) ba ? 時，? ???baabxxfxxf d)(d)( . ( 3 ) 定積分的存在性：當(dāng))( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)或只有有 限個第一類間斷點時 ,)( xf在],[ ba上的定積分存在（也稱可積） . 如果 0)( ?xf ，則 ( ) d 0baf x x ?? , 此時 ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A ，即 ? ?baAxxf d)( . x O y a b A y= f ( x) 三、定積分的幾何意義 如果 )( xf ≤ 0 ， 則 ( ) d 0baf x x ?? ， 此時 ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A 的 負(fù)值 ，即 ( ) dbaf x x A??? . x O y a b A y= f ( x) 1 2 3( ) d .ba f x x A A A? ? ??如果 )( xf 在 ],[ ba 上有正有負(fù)時，則 ( ) dbaf x x? 表示由曲線 )( xfy ? ，直線 ,x a x b??及 x 軸所圍成的平面圖形的面積位于 x 軸上方的面積減去位于 x 軸下方的面積，如右圖所示，即 3 A ) ( x f y ? O a b x y ? ? ? 2 A 1 A 性質(zhì) 1 函數(shù)的代數(shù)和可逐項積分，即 ? ? ????bababaxxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([ . 性質(zhì) 2 被積分函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外面，即 ? ??babaxxfkxxkf d)(d)( （ k 為常數(shù)） . 性質(zhì) 3 （積分區(qū)間的分割性質(zhì)） 若 bca ?? ，則 ? ? ???bacabcxxfxxfxxf d)(d)(d)( . 注：對于 cba , 三點的任何其他相對位置，上述性質(zhì)仍成立，譬如： cba ?? ，則 ? ? ? ? ?????cabacbbabcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()( , 四、定積分的性質(zhì) .d)(d)(d)(? ? ???ba ca bc xxfxxfxxf仍有 性質(zhì) 4 （積分的比較性質(zhì)） 在 ? ?,ab 上若 )( xf ≥g ( x ) ，則 ?baxxf d)( ≥ ?baxxg d)( . 性質(zhì) 5 （積分估值性質(zhì)） 設(shè) M 與 m 分別是 )( xf 在? ?,ab 上的最大值與最小值，則 ()m b a? ≤ ?baxxf d)( ≤ )( abM ? . 證 因為 m ≤ )( xf ≤ M （題設(shè)）， 由性質(zhì) 4 得?baxm d ≤ ?baxxf d)( ≤ ?baxM d ，再將常數(shù)因子提出，并利用 abxba??? d ， 即可得證 . 性質(zhì) 6 （積分中值定理） 如果 )( xf 在 ?