【正文】 ( c o sededd, 于是有 xxxxxtxxxxxxt222c o s0c o s02c o s10e2s inlim2es inlimdelim???????????? e21e211?????. 思考題 1. 若 ?? 2 ds i n)( 2xx ttxf ， ?)( ?? xf 2. 在牛頓 萊布尼茨公式中，要求被積函數(shù) )( xf 在積分區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù) . 問當 )( xf 在 ],[ ba 區(qū)間上有第一類間斷點時，還能否用牛頓 萊布尼茨公式計算定積分？并計算 ? ?22,d)( xxf 其中 ????????????????????.20,12,01,1,10,12,)(22xxxxxxxxf 一、 定積分的換元積分法 二、 定積分的分部積分法 定積分的積分方法 例 1 求 ? ?40 1 d xx . 解一 ?? xx1d tx ?令?? ttt1d2 ???? ttd)111(2 Ctt ???? )1ln(2 回代Cxx ??? ]1ln[2 于是4040)]1ln([21dxxxx????? = 3ln24 ? . 一、定積分的換元積分法 解二 設 tx ? ，即 )0(2?? ttx . 當 0?x 時 , 0?t 。 ( 2 ) xxRRRd22??? 。 (4) 取極限 令小區(qū)間長度的最大值? ?inix????1ma x? 趨于零 , 則和式 iniixf ???)(1?的極限就是曲邊梯形面積 A的精確值，即 01l i m ( ) .niiiA f x??????? 2．變速直線運動的路程 設某物體作直線運動，已知速度 )( tvv ? 是時間間隔 [ 21 , TT ] 上的連續(xù)函數(shù)，且 )( tv ≥ 0 ，要計算這段時間內(nèi)所走的路程 . 解決這個問題的思路和步驟 與 上例類似： ( 1 ) 分割 任取分點212101TtttttTnn????????? ，把 [21, TT ] 分成 n 個小段，每小段長為 1????iiittt （ ni ,2,1 ?? ） 。設 0?? tx ，即 2tx ? ，則 t d tdx 2? ， 于是 ????? tt d txdx121 dtt? ??? )111(2 Ctt ???? 1ln22 Cxxxt ???? 1ln22回代 ２ ． 第二換元積分法 第一換元積分方法是選擇新的積分變量 ? ? ,xu ?? 但對有些被積函數(shù)則需要作相反方式的換元，即令 ? ? ,tx ??把 t 作為新積分變量，才能積出結(jié)果，即 ? ?? ?dxtf x x???換元 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11d. txf t t t F t C F x C?? ? ????? ???? ???? ??? 積分回代這種方法叫第二換元法． 使用第二換元法關(guān)鍵是恰當?shù)倪x擇變換函數(shù) ? ? ,tx ?? 對于 ? ? ,tx ?? 要求其單調(diào)可導， ? ? ,0?? t? 這樣就能保證 其反函數(shù) ? ?xt 1?? ? 存在 ． 下面通過一些例子來說明． 例 ９ 求 ? ? xxx d1 . 解 為了消去根式，可令 ? ? ,02 ?? ttx 則 .d2d ttx ? 于是 ? ?? ????? tttttttxxx d12d21d1 2? ?? ? ?????????????? tttttt d1112d1112 22 2 2 l n 1t t t C? ? ? ? ?2 2 l n 1 .tx x x x C? ? ? ? ?回 代例１０ 求 ? ?? xxx d13 13 ． 解 令 ,133 tx ?? 即 ? ?,131 3 ?? tx 則 ttx dd 2? 代入后，得 ? ?3 4 5 21 1 1 1d 2 d3 1 5 331x x t t t t t Cx? ? ? ? ? ????? ? ? ? .21351 3 2 Cxx ????由以上二例可以看出 ： 被積函數(shù)中含有被開方因式 為一次式的根式 n bax ? 時 , 令 tbaxn ?? 可以消去根號， 從而求得積分 ． 40 求 ? ? 3 xx dx令 ,6 tx ? 則 ,6, 52336 dttdxtxtxtx ????因此得 ? ? 3 xx dx ??? 2356ttdtt? ? ?????? ?????? ??? dttttdttt 11161 1)1(6 23Ctttt ?????? )1l n (6632 23Cxxxx ?????? )1l n (6632 663例 11 解 ? ?? 16 3t dtt下面 討論被積函數(shù)含有被開方因式 為二次式的根式的情況． 例 １ 2 求 ? ? .d22 xxa 解 作三角變換，令 ππsi n ,22x a t t??? ? ? ?????那么 ,dc o sdc o s22 ttaxtaxa ??? 且于是 ttattaxxa d2 2c o s1dc o sd 22222 ?? ? ???? 22sin 2 .24aat t C? ? ?為把 t 回代成 x 的函數(shù)，可根據(jù)axt ?s i n , 作輔助直角三角形（如右圖）， 得 axat22c o s?? ． 所以 Cxaxaxaxxa ?????? 2222221a r c s i n2d . x a a 2 x 2 例１ 3 求? ?? ?0d2322??? axax. 解 令 2ππt a n d se c d22x a t t x a t t??? ? ? ? ?????，則 ． 所以 ? ?Ctattattataxax???????? s in1dc o s1ds e cs e cd233322322． 由 右圖所示的直角三角形，得 ,s i n 22 xa xt ??故 ? ?.d 2222322Cxaaxxax ????? x a a 2 x 2 + t 44 求 ? ?? )0(22 aax dx令 )20(s ec ???? ttax ，則 taxaaxaax ta n1s e cs e c 222222 ??????于是 根據(jù) axt ?sec 作直角三角形（如圖）， a axt 22t a n ?? ，從而 ? ????? 12222 ln CaaxaxaxdxCaxx ???? 22ln)ln( 1 aCC ??x a 22 ax ?t 得 例 14 解 t d ttadx t a ns e c?? ? ? ?????? Cttt d tta t d ttaax dx ta ns e clns e cta nta ns e c22 一般地說 ， 當被積函數(shù)含有 (1)22xa ? ，可作代換 tax s in? ； (2) 22 xa ? ，可作代換 tax t a n? ； (3) 22 ax ? ，可作代換 tax s e c? ． 通常稱以上代換為三角代換，它是第二換元法的重 要組成部分，但在具體解題時 , 還要具體分析 , 例如， ? ? xaxx d22 就不必用三角代換，而用湊微分法更為方 便． 為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定 . 例 15 求 dxxx?? 251 （三角代換很繁瑣） 21 xt ??令 ,122 ??? tx ,tdtxdx ?dxxx? ? 251? ? t d ttt? ?? 22 1 ? ?dttt? ??? 12 24Cttt ???? 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx ?????解 tx1: ?倒代換例 16 求 解 ).0(422??? adxx xa,1tx ?令 則,2tdtdx ??dxx xa? ?422????????? ?242211tdttta? ??? dttta ||122有時當 ,0?xdxx xa? ?422 ????? )1(12 1 22222 tadtaaCtaa ???? 23222 )1(31 Cxaxa ????232232 )(31.,0 有相同的結(jié)果時當 ?x設函數(shù) )( xuu ? , )( xvv ? 具有連續(xù)導數(shù)，根據(jù)乘積微分 公式有 ? ? ,ddd uvvuuv ??移項得 ,d)(dd uvuvvu ?? 兩邊積分得 ,dd ?? ?? uvuvvu 該公式稱為分部積分公式，它可以將求 ? vu d 的積分問題轉(zhuǎn)化為求 ? uv d 的積分，當后面這個積分較容易求時，分 部 積分公式就起到了化難為易的作用． 二、分部積分法 例 1 6 求 ? .dcos xxx 解 設 ),(s inddc o sd, xxxvxu ??? 于是 ,s in,dd xvxu ?? 代入公式有 ? xxx dc o s = ? ?? xx s i nd = ?? xxxx ds i ns i n .c o ssi n Cxxx ??? 注 ：本題若設 ,dd,c o s xxvxu ?? 則有 xxu ds ind ?? 及 221 xv ? ，代入公式后，得到 ? xxx dc o s = 221 x ?xc o s 21 xxx ds in2? , 新得到積分 ? xxx dsin2 反而比原積分更難，說明這樣設vu d, 是不合適的，由此可見，運用好分部積分關(guān)鍵是恰 當?shù)剡x擇好 u 和 vd ，一般要考慮如下兩點： （ 1 ） v 要容易求得（可用湊微分法求出）； （ 2 ） ? uv d 要比 ? vu d 容易積出． 例 1 7 求 ? xxx dln . 解 ? xxx dln = ???????2dln2xx = ? ?xxxx lnd2ln21 22 ?? .41ln2d21ln2 222 Cxxxxxxx ????? ?當熟悉分部積分法后， vu d, 及 uv d, 可心算完成，不 必具體寫出． 例 1 8 求 xx x de2? . 解 xx x de2? = ? ? ? ?222 deeed xxx xxx ?? ?? ? ?22e 2 e d e 2 d ex x x xx x x x x? ? ? ???? ? Cxxxxx xxxxxx ??????? ? e2e2edee2e 22? ? .e222 Cxx x ????例 1 9 求 xxx dsine? . 解 ? ? xxxxxx xxxx dc o ses i needs i nds i ne ??? ??? 將再次出現(xiàn)的 xxx ds i ne? 移至左端，合并后除以 2 得 所求積分為 ? ? .c o ss i ne21ds i ne Cxxxx xx ???? ? ?.ds i nec o ses i needc o ss i nexxxxxxxxxxx???????例 20 求 .