【正文】 a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。 3 有理函數(shù)和可化為 一、有理函數(shù)的部分分式分解 四、某些無(wú)理函數(shù)的不定積分 三、三角函數(shù)有理式的不定積分 二、有理真分式的遞推公式 有理函數(shù)的不定積分 101101()()()nnnmmmxxPxRxQx xx? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù) , 一、有理函數(shù)的部分分式分解 m n 時(shí) 稱(chēng)為真分式 , m ≤ n 時(shí)稱(chēng)為假分式 . 假分式可化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和 . 00( 0 , 0 ) ,????其一般形式為 1. 對(duì)分母 Q(x) 在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解 : 11 221 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,sts t tQ x x a x a x p x q x p x q????? ? ? ? ? ? ?2 4 0 , 1 , 2 , , .jjp q j t? ? ?+11 , N , 2 ,sti j i jijm? ? ? ???? ? ???其 中 且2. 根據(jù)分母各個(gè)因式分別寫(xiě)出與之相應(yīng)的部分分 分解步驟稱(chēng)為部分分式分解 .具體步驟簡(jiǎn)述如下 : 真分式又可化為 2()iiiB x Cx p x q???()iiAxa? 與 之和 ,其 ()kxa?式 . 對(duì)應(yīng)于 的部分分式是 .)()( 221 kkax Aax Aax A ?????? ?,)()( 222 222 11 kkk qpxx CxBqpxx CxBqpxx CxB ?? ????? ???? ? ?把所有部分分式加起來(lái) ,使之等于 R(x), 由此確定 對(duì)應(yīng)于 kqpxx )( 2 ?? 的部分分式是 上述部分分式中的待定系數(shù) Ai , Bi , Ci . 3. 確定待定系數(shù)的方法 把所有分式通分相加 , 所得分式的分子與原分子 組 , 由此解出待定系數(shù) . 必定相等的原則 , 得到待定系數(shù)所滿(mǎn)足的線(xiàn)性方程 P(x) 應(yīng)該相等 . 根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等時(shí)同次項(xiàng)系數(shù) 任何有理真分式的不定積分都可化為如下兩種形 d( i ) 。s in tax ?22)2( xa ?可令 。x x x???x x x( 5 ) s in d d( c o s ) 。 2 換元積分法與分部積分法 一、第一換元積分法 二、第二換元積分法 三、分部積分法 定理 (第一換元積分法 ) gu ( ) [ , ]??設(shè) 在 上有定義， ??? g u u G u C( ) d ( ) .且上可導(dǎo)，在又 ],[)( baxu ?? ].,[,)( baxx ??? ???且則 ? ???g x x x g u u( ( ) ) ( ) d ( ) d??CuG ?? )( ??( ( ) ) . ( 1 )G x C?證 ???d ( ( ) ) ( ( ) ) ( )d G x G x xx ? ? ?因 為 ).())(( xxg ?? ??一、第一換元積分法 所以 (1)式成立 . 第一換元積分法亦稱(chēng)為湊微分法 , 即 ? ? ? ???g x x x g x x G x C( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) d ( ) ( ( ) ) ,? ? ? ? ?( 1 ) d d( ) 。 Chapt 8 不定積分 教學(xué)目標(biāo)： 1. 熟練掌握不定積分概念以及基本積分公式； 2. 掌握不定積分換元法與分部積分法； 3. 掌握有理函數(shù)的不定積分 . 167。a x a x? ( 2 ) d d( ) 。1( 6 ) d d( ln ) 。tan tax ?22)3( ax ?可令 .se c tax ?例 8 .)0(d22? ?? axxa求解 ?? πs in , | | ,2x a t t設(shè)22 d c os d ( sin )a x x a t a t????22c os da t t? ?2 ( 1 c os 2 ) d2a tt???222 1si n 2 ar c si n 12 2 2a a x x xt t C Ca a a??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 a r c si n .2xa x a x Ca??? ? ? ?????求 例 9 ??? 22d ( 0 ) .x aax解 ?? πt a n , | | .2x a t t設(shè)???? 22 2d se c dse cx a t tatax? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln? ? ? ?22l n ( ) .a x x C這里可借助輔助直角三 a22xa?xt角形 , 求出 sec t , tan t . 例 10 ).0(d 22 ??? aax x求解 πse c , 0 ,2x a t t? ? ?設(shè)22d se c t an dt anx a t t tatxa?????? ?s e c dtt Ctt ??? |t ans e c|ln22221ln ln ,x x a C x x a Caa?? ? ? ? ? ? ?其中 sec t 和 tan t 可借助輔助直角三角形求出 . axt22xa?例 11 ).0()( d 222 ??? aax x求解 πt a n , | | ,2x a t t??????2222 4 4d se c d() se cx at txa at? ?231 c o s dtta???31 ( 1 c o s 2 ) d2 ttaCttta ??? )c oss i n(2 1 3.a r c t a n2 1 223 Cax axaxa ??????? ???a22 ax ? xt三、分部積分法 定理 (分部積分法 ) 若 u(x)與 v(x)可導(dǎo) , 不定積分 ,d)()( 存在? ? xxvxu?? ( ) ( ) d ,u x v x x則 也存在 且.d)()()()(d)()( ?? ???? xxvxuxvxuxxvxu( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x由 ? ? ???證 或 .d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu ?? ????),()())()(()()( xvxuxvxuxvxu ????? 兩邊積分 ,得 1. 降冪法 等類(lèi)型函數(shù)的不定積 s in , c o s , en n n xx x x x x在求例 12 .dc o s2? xxx求解 ? 2 c os dx x x? ? 2 d si nxx?? ?2 si n 2 si n dx x x x x?? ?2 si n 2 d c osx x x x? ? ? ?2 si n 2 c os 2 c os dx x x x x x.s i n2c os2s i n2 Cxxxxx ????分時(shí) ,可用分部積分法使 xn 逐次降冪 . 定積分時(shí) ,需要使用升冪法 . 例 13 3 l n d .x x x?解 ??? ? ???????4431ln d ( ln d )44xx x x x x?3 ln dx x x.)1ln4(164Cxx ???2. 升冪法 a r c t a n , l n , a r c s i nn n nx x x x x x求 等類(lèi)型函數(shù)的不 類(lèi)型的函數(shù)的不定積分時(shí) ,用分 e s in , e c o sxxxx求3. 循環(huán)法 例 14 1 e c os daxI bx x求和? ?2 e si n d .axI bx x? ?解 1 1 c o s d( e )axI b xa? ?1 ( e c o s e s in d )a x a xb x b b x xa?? ?21 ( e c o s ) ,ax b x b Ia?? (3) 解出方程加上常數(shù) C 即可得不定積分 . 部積分法兩次 ,循環(huán)得到含未知不定積分的方程 , (4)式代入 (3)式 ,得 21 sin d( e )axI b xa? ?1 ( e sin e c o s d )a x a xb x b b x xa?? ?1 22s in c o s b x a b xICab??????2 22s i n c os bx b bxab11 ( e sin ) .ax b x b Ia??(4) 111 [ e c o s ( e sin ) ] .a x a xbI b x b x b Iaa? ? ?整理后得到 同理 1I 的 另 一 種 求 法 是 :?? ?1 1 ( e c o s e s in d )a x a xI b x b b x xa?? ?1 ( e c o s s in de )a x a xbb x b xaa? ? ? ?21( e c os e si n e c os d )ax ax axbbbx bx bx xa a a? ? ?211 ( e c os e si n )ax axbbbx bx Ia a a12 22sin c o s b x a b xI C Iab????所 以 的 求 法 類(lèi) 似 .例 * 求積分 .)si n( l n? dxx解 ? dxx )si n ( l n ??? )][ si n( l n)si n( l n xxdxx? ??? dxxxxxx 1)co s( l n)si n ( l n???? )][ c o s( l n)c o s( l n)si n( l n xxdxxxx???? dxxxxx )si n( l n)]c o s( l n)[ si n( l n?? dxx )si n ( l n .)]co s( l n)[ si n ( l n2 Cxxx ???例 ** 求積分 .si n? xdxe x解 ? xdxe x si n ?? xx d esi n??? )( si nsi n xdexe xx??? x d xexe xx c o ssi n ??? xx x d exe c o ssi n???? )c o sc o s(si n xdexexe xxx???? x d xexxe xx si n)c o s( si n?? x d xe x si n .)co s( si n2 Cxxex???注意循環(huán)形式 4. 遞推法 例 15 .dc o s?? xxI nn求不定積分解 .s i ndc o s1 CxxxI ??? ?????? 1c os d c os d si nnnnI x x x x??? ? ? ?1 2 2si n c os ( 1 ) c os si n dnnx x n x x??? ? ? ??1 2 2si n c os ( 1 ) c os ( 1 c os ) dnnx x n x x??? ? ? ?12si n c os ( 1 ) c os dnnx x n x x?? ? nn x x( 1 ) c os d ,由此解出 11si n , 1 ,11si n c os , 2, 3, .n n nx C nI nx x I nnn??????? ? ?????例 16 tan xdx? si n c o s l n | c o s | .c o s c o sx d xd x x Cxx? ? ? ? ? ???例 17 2343x x dx??13321 ( 4 3 ) ( 4 3 )9 x d x? ? ? ??33 22 ( 4 3 ) .9 xC? ? ? ?例 18 求 .)1( 3 dxxx??解 dxxx? ? 3)1( dxxx? ? ??? 3)1( 11)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?.)1(2 11 1 2 Cxx ??????例 19 )1(1xxdexx ?? ? ? .1 Ce xx ?? ?121(1 ) x xe d xx???例 20 求 .258 12 dxxx? ??解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(12dxx???????? ??13413122 ?????? ???????? ?? ?341341312xdx.3 4a rc t a n31 Cx ?