【正文】 第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 第二節(jié) 不定積分的積分方法 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 第四節(jié) 微積分基本公式 第五節(jié) 定積分的積分方法 第六節(jié) 廣義積分 第七節(jié) 定積分的應(yīng)用 引入 前面我們研究了一元函數(shù)微分學(xué)的 基本問題，即已知一個可導(dǎo)函數(shù) F(x),求 它的導(dǎo)數(shù) 。 但在實際問題中，常會遇到與此相反的另一類問題。 )x(f)x(F ?? 已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x), 求原函數(shù) F(x)。 ()Fx? ? 一、不定積分的基本概念 二 基本公式 三 、 性質(zhì) 第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 1． 原函數(shù)的概念 例 因為 1( l n )xx? ? ，故 ln x 是 1x的一個原函數(shù)； 因為 2( ) 2xx ? ? ，所以 2x 是 2 x 的一個原函數(shù)，又 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 2 x? ，所以 2 x 的原函 數(shù)不是惟一的． 原函數(shù)說明： 第一，原函數(shù)的存在問題：如果 ()fx 在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在 ( 將在下章加以說明 ) ． 定義 1 設(shè) ()fx 是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù) ()Fx ，使得 ( ) ( )F x f x? ? 或 d ( ) ( ) dF x f x x? , 則稱 ()Fx 為 ()fx 的一個原函數(shù) ． 一、不定積分的概念 第二，原函數(shù)的一般表達式：前面已指出，若 ()fx 存在原函數(shù)，就不是惟一的，那么，這些原函數(shù)之間有 什么差異？能否寫成統(tǒng)一的表達式呢？對此，有如下結(jié) 論： 定理 若 ()Fx 是 ()fx 的一個原函數(shù)，則 ()F x C? 是 ()fx 的全部原函數(shù)，其中 C 為任意常數(shù)． 證 由于 ( ) ( )F x f x? ? ，又 [ ( ) ] ( ) ( )F x C F x f x??? ? ? ，所以函數(shù)族 ()F x C? 中的每一個都是 ()fx 的原函數(shù)． 另一方面 , 設(shè) ()Gx 是 ()fx 的任一個原函數(shù)， 即 ( ) ( )G x f x? ? ，則可證 ()Fx 與 ()Gx 之間只相差一個常數(shù) . 這樣就證明了 ()fx 的全體原函數(shù)剛好組成函數(shù)族 ()F x C? ． 所以 ( ) ( )F x G x C?? ，或者 ( ) ( )G x F x C?? ，這就是說 ()fx 的任一個原函數(shù) ()Gx 均可表示成 ()F x C? 的形式． 事實上 , 因為 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x? ? ?? ? ? ? ? ? ， 2. 不定積分的概念 定義 2 函數(shù) ()fx 的全體原函數(shù) ()F x C? 叫做 ()fx 的不定積分，定積分，記為 ( ) d ( )f x x F x C??? ，其中 ( ) ( )F x f x? ? , 上式中的 x 叫做積分變量， ()fx 叫做被積函數(shù)， ( ) df x x 叫做被積表達式， C 叫做積分常數(shù)，“ ? ”叫做積分號． 例 1 求下列不定積分： （ 1 ）2 dxx? ； （ 2 ） s i n dxx? ； （ 3 ） 1 d xx?． 解 （ 1 ）因為 2331 xx ???????? ，所以 ? ?? Cxxx 32 31d . （ 2 ）因為 xx s in)c o s( ??? ，所以 Cxxx ???? c o sds i n . （ 3 ）因為 0?x 時， xx 1)( l n ?? ，又 0?x 時， xxx11])[ l n ( ?????? ，所以 Cxxx ??? ||lnd1 . 例 2 設(shè)曲線過點（ 1 ， 2 ）且斜率為 x2 ，求曲線方程． 解 設(shè)所求曲線方程為 )( xyy ? ． 按 xxy 2dd ? ，故 Cxxxy ??? ? 2d2 ． 又因為曲線過點（ 1 ， 2 ），故代入上式 C?? 12 ，得 1?C ，于是所求方程為 12 ?? xy . 微分運算與積分運算互為逆運算 . ，或 xxfxxfxf39。xxf)d()d(d )(])d([ ( 1 )????，或 ??????CxFxFCxFxxF39。)()(d )()d( ( 2 )結(jié)論： 微分運算與積分運算是 互逆 的 . 若先積后微，作用相互抵消； 若先微后積，則在抵消后加 任意常數(shù) C。 CxFdxxf ??? )()()x(f)x(F ??3. 不定積分的幾何意義 若 y = F (x) 是 f (x) 的一個原函數(shù)， 則稱 y = F (x) 的圖形是 f (x) 的 積分曲線 . 因為不定積分 CxFxxf ??? )(d)(是 f (x) 的原函數(shù)的一般表達式， 所以它對應(yīng)的圖形是 一族積分曲線 ， 稱它為積分曲線族 . 積分曲線族 y = F (x) + C 的特點是 ： 當 C 0 時，向上移動； (1)積分曲線族中任意一條曲線， 可由其中某一條 (例如 ， 曲線 y = F(x) ) 沿 y 軸平行移動 |C|單位而得到 . 當 C 0 時，向下移動； (2)由于 [F (x) + C]? = F ? (x) = f (x)， 即橫坐標相同點 x 處 ， 每條積分曲線上相應(yīng)點的切線斜率相等 ， 都等于 f (x)， 從而使相應(yīng)點的切線相互平行 (如圖 )． x y O y = f (x) y = F (x)+C 積分曲線族 y = F (x) + C 由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以相應(yīng)地得出下列積分公式： (1) ? ?? Ckxxk d ( k 為常數(shù) ) ， (2) Cxxx ???? ? 111d ???（ 1??? ） ， (3) Cxxx ??? lnd1 ， (4) e d exxxC??? ， (5) ? ?? Caaxaxxlnd ， (6) ? ?? Cxxx s i ndc o s ， (7) ? ??? Cxxx c o sds in ， 二、 基本積分公式 (8) ? ? ??? Cxxxxx ta nds e cdc o s1 22 ， (9) ? ? ???? Cxxxxx c o tdc s cds i n 1 22 ， (10) ? ?? Cxxxx s e cdt a ns e c ， (11) ? ??? Cxxxx c s cdc o tc s c ， (12) Cxxx ???? a r c ta nd1 1 2 ， （ 13 ） Cxxx ???? ar c s i nd1 1 2 . 性質(zhì) 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號外 ， 即 ? ?? xxfkxxkf d)(d)( （ 0?k ） . 性質(zhì) 2 兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和 ， 即 ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()( . 三、 不定積分的性質(zhì) 例 3 求下列不定積分 : （１） ? ?? ?????? ?? xxxx d11 ； （２） ? ?? xxx d1122． 解 （ 1 ） ? ?? ? ?????????????????? xxxxxxxxx d11d11 ? ??? ????? xxxxxxxx d1d1dd.22152 21225Cxxxx ?????（２） ? ? ? ??????????????? xxxxxxxx d121d121d1122222 .ar c t an21d2d 2 Cxxx xx ?????? ?? 例 4 求下列不定積分： (1) ? xx dta n 2 ； (2) ? xx d2s in 2 ． 解 (1) ?? xx dt an 2 xx d)1( s e c 2 ?? = .t andds e c 2 ?? ???? Cxxxxx 2 1 c ossi n d d2211si n .22xxxxx x C??? ? ??? (2) dxxx?22c o ss i n1]3[dxxxxx? ??2222c oss i nc oss i n ???? dxxdxx 22 s i n1c os1cxx ???? t a nc o t例 5 求 其中,d)(? xxf f (x)= x2+1, x0. 1 ,1 ?xx10 ,1 ?? x解 : 作函數(shù)，待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxf???????F(x)= 0 ,33?? xxx1 ln 2 ?? xCx10 1 ??? xCx而要使 F(x)成為 f (x)在 R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而 C1＝ 0， C2＝ 1，因此滿足條件的函數(shù)為 F(x)= 0 ,33?? xxx.1 1ln ?? xx10 , ?? xx故 CxFxxf ??? )(d)(例 6 設(shè) ? ? ,c o ss i n 22 xxf ?? 求 ? ?xf ． 解 由于 ? ? xxxf 222 s i n1c o ss i n ???? ， 所以 ? ? xxf ??? 1 , 故知 )( xf 是 x?1 的原函數(shù) ， Cxxxxxf ????? ? 2d)1()( 2 . 得 思考題 1 ．在不定積分的性質(zhì) ? ?? ?? xxfkxxkf d)(d中 ， 為 何 要求 0?k ？ 2． 思考下列問題： (1) 若 ? ?? ??? ,si n2d Cxxxf x 則 ? ?xf 為何？ (2) 若 )( xf 的一個原函數(shù)為 ,c o s x 則 ? ?? ? xxf d 為何？ 一、 換元積分法 二 、 分部積分法 三、 簡單有理數(shù)的積分 換元積分法和分部積分方法 1． 第一換元積分法 (湊微分法 ) 直接驗證得知 ,計算正確． 例 1 求 xx de 3? . 解 被積函數(shù) x3e 是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式 ，我們可以把原積分作下列變形后計算： ? ?? Cx xx ede?? ?? xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令? ?? Cu uu e31de31 回代 31 Cx ?3e . 例 2 求 xx x de2 2? ． 解 注意到被積式中含有 2e x 項 , 而余下的部分恰有 微分關(guān)系： 22 d d ( )x x x? ．于是類似 于例 1, 可作如下變 換和計算： 一、換元積分法 .eede)(dede2 22222 CCuxuxxx xuuxx ????? ???