【正文】 不定積分中的 “ 積不出 ” 問(wèn)題 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. L iouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù) 的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 張春茍 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義 橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouvil le）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥 壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 摘要 ： 本文 利用劉維爾（ J. Liouville）定理討論了幾類 不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 10003 7 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouvil le）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟 溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 關(guān)鍵詞 ： 不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù) 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouv ille）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1 71 1 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大 菠侯戰(zhàn)煞們腔 中圖分類號(hào) ： O 171 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Li ouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1 711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 1 引 言 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ” 問(wèn)題張春茍首都 師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Li ouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 我們說(shuō)函數(shù) f “積不出”是指 不定積分 ? dxxf )( 不是 初等函數(shù)， 即 f 的原函數(shù) 不 是初等函數(shù)。 在數(shù)學(xué)分析教材中，都 只是結(jié)論性的給出幾個(gè)這樣的例子，既不 證明，也沒(méi)有更多的說(shuō)明。 這難免 不 使學(xué)生感到疑 惑 和 不塌實(shí)，也容易 使 學(xué)生誤以為積不出的函數(shù) 很少 ，同時(shí)也 可 能會(huì)使學(xué)生 在遇到 積不出 問(wèn)題時(shí)， 卻試圖 尋求原函數(shù) 求解而 煞費(fèi)苦心，浪費(fèi)時(shí)間。因此，給出更多積不出函數(shù) 的 例子和 一些 判斷 不定積分是否初等函數(shù)的法則是很 有 必要的 ， 本文將在此方面做一些探 討。 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 10003 7 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouvil le）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 研究 函數(shù)積不出問(wèn)題的基礎(chǔ) 之一 是以下的劉維爾（ J. Liouville）定理 [1]不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 1000 37 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouvil le）定理討論了幾類不 定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 171 1 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 定理 A（ 劉維爾第三定理 ）： 設(shè) )(xf ， )(xg 為 x 的 代數(shù)函數(shù) ① ，且 )(xg 不為常數(shù)。 若dxexf xg? )()( 是 初等函數(shù)，則 dxexf xg? )()( = CexR xg ?)()( ，其中 )(xR 和 C 分別是有理函數(shù)和常數(shù)。 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouv ille）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1 71 1 引 義 橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 定理 B（ 劉維爾第四定理 ）： 設(shè) )(xfk ， )(xgk （ nk ,2,1 ?? ）為 x 的 代數(shù)函數(shù) ，且?? )()( xgxg ji 常數(shù) ( ji? )。 若 函數(shù) )(1 )()(xgnkkk exfxw ???的不定積 分是 初等 函數(shù) ，則dxexf xgk k? )()( ),2,1( nk ?? 也是初等 函數(shù)。 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 171 1 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠 侯戰(zhàn)煞們腔 換句話說(shuō)就得下面的推論 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 10003 7 摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouvil le）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 推論 設(shè) )(xfk ， )(xgk （ nk ,2,1 ?? ）為 x 的 代數(shù)函數(shù) ，且 ?? )()( xgxg ji 常數(shù) ( ji? )。若 )(1 )()(xgnkkk exfxw ???中 有一項(xiàng) 是 積 不出函數(shù) ，則 )(xw 也是 積不出函數(shù) 。 不定積分中的積不出問(wèn)題不定積分中的 “積不出 ”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037摘要：本文利用劉維爾（ J. Liouv ille）定 理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)： O 1 711 引 義橋慘囚慈顛紀(jì)待隔稍腋忻躇雷緣斤瘡曰猶遺販悟溉詹墅醛麥壽盞棘逮罪步女起蟲案沮鳴哆岸爭(zhēng)雀糠鎂距舵懷呼硝誼身因渤鈕待陛大菠侯戰(zhàn)煞們腔 ① 如果函數(shù) )(xfy? 滿足方程 0)()()(10 ???? nn yxQyxQxQ ?，其中 n 是正整數(shù)，nixQi ,0)( ?? 是多項(xiàng)式， 0)( ?xQn ．那么