【文章內(nèi)容簡介】 44 求 ? ?? )0(22 aax dx令 )20(s ec ???? ttax ，則 taxaaxaax ta n1s e cs e c 222222 ??????于是 根據(jù) axt ?sec 作直角三角形（如圖）， a axt 22t a n ?? ，從而 ? ????? 12222 ln CaaxaxaxdxCaxx ???? 22ln)ln( 1 aCC ??x a 22 ax ?t 得 例 14 解 t d ttadx t a ns e c?? ? ? ?????? Cttt d tta t d ttaax dx ta ns e clns e cta nta ns e c22 一般地說 ， 當(dāng)被積函數(shù)含有 (1)22xa ? ，可作代換 tax s in? ； (2) 22 xa ? ，可作代換 tax t a n? ； (3) 22 ax ? ，可作代換 tax s e c? ． 通常稱以上代換為三角代換，它是第二換元法的重 要組成部分，但在具體解題時 , 還要具體分析 , 例如， ? ? xaxx d22 就不必用三角代換，而用湊微分法更為方 便． 為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定 . 例 15 求 dxxx?? 251 （三角代換很繁瑣） 21 xt ??令 ,122 ??? tx ,tdtxdx ?dxxx? ? 251? ? t d ttt? ?? 22 1 ? ?dttt? ??? 12 24Cttt ???? 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx ?????解 tx1: ?倒代換例 16 求 解 ).0(422??? adxx xa,1tx ?令 則,2tdtdx ??dxx xa? ?422????????? ?242211tdttta? ??? dttta ||122有時當(dāng) ,0?xdxx xa? ?422 ????? )1(12 1 22222 tadtaaCtaa ???? 23222 )1(31 Cxaxa ????232232 )(31.,0 有相同的結(jié)果時當(dāng) ?x設(shè)函數(shù) )( xuu ? , )( xvv ? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分 公式有 ? ? ,ddd uvvuuv ??移項(xiàng)得 ,d)(dd uvuvvu ?? 兩邊積分得 ,dd ?? ?? uvuvvu 該公式稱為分部積分公式，它可以將求 ? vu d 的積分問題轉(zhuǎn)化為求 ? uv d 的積分，當(dāng)后面這個積分較容易求時，分 部 積分公式就起到了化難為易的作用． 二、分部積分法 例 1 6 求 ? .dcos xxx 解 設(shè) ),(s inddc o sd, xxxvxu ??? 于是 ,s in,dd xvxu ?? 代入公式有 ? xxx dc o s = ? ?? xx s i nd = ?? xxxx ds i ns i n .c o ssi n Cxxx ??? 注 ：本題若設(shè) ,dd,c o s xxvxu ?? 則有 xxu ds ind ?? 及 221 xv ? ，代入公式后，得到 ? xxx dc o s = 221 x ?xc o s 21 xxx ds in2? , 新得到積分 ? xxx dsin2 反而比原積分更難，說明這樣設(shè)vu d, 是不合適的，由此可見，運(yùn)用好分部積分關(guān)鍵是恰 當(dāng)?shù)剡x擇好 u 和 vd ，一般要考慮如下兩點(diǎn)： （ 1 ） v 要容易求得（可用湊微分法求出）； （ 2 ） ? uv d 要比 ? vu d 容易積出． 例 1 7 求 ? xxx dln . 解 ? xxx dln = ???????2dln2xx = ? ?xxxx lnd2ln21 22 ?? .41ln2d21ln2 222 Cxxxxxxx ????? ?當(dāng)熟悉分部積分法后， vu d, 及 uv d, 可心算完成，不 必具體寫出． 例 1 8 求 xx x de2? . 解 xx x de2? = ? ? ? ?222 deeed xxx xxx ?? ?? ? ?22e 2 e d e 2 d ex x x xx x x x x? ? ? ???? ? Cxxxxx xxxxxx ??????? ? e2e2edee2e 22? ? .e222 Cxx x ????例 1 9 求 xxx dsine? . 解 ? ? xxxxxx xxxx dc o ses i needs i nds i ne ??? ??? 將再次出現(xiàn)的 xxx ds i ne? 移至左端，合并后除以 2 得 所求積分為 ? ? .c o ss i ne21ds i ne Cxxxx xx ???? ? ?.ds i nec o ses i needc o ss i nexxxxxxxxxxx???????例 20 求 .ds inar c? xx?? ?? )ar cs i n(dar cs i ndar cs i n xxxxxx解 ? ??? xxxx x d1a r c s i n 2.)1l n (21ar cta ndar cta n 2 Cxxxx x ?????類似地，有 .1ar cs i n2 Cxx x ????小結(jié) ：下述幾種類型積分，均可用分 部 積分公式求解， 且 vu d, 的設(shè)法有規(guī)律可循 ． (1) ? xxaxn de， ? xaxxn ds in， ? xaxxn dc o s，可設(shè)nxu ?； ( 2) xxxndln? ， ? xxxnda r c s in ， ? xxxnda r c ta n ， 可設(shè) xu ln? ， xa r c s in ， xa r c ta n ； (3) ? xbxax ds i ne ， ? xbxax dc o se ，可設(shè) bxu s in? ， bxc o s . 說明 ：（ 1 ）常數(shù)也視為冪函數(shù)． （ 2 ）上述情況 nx 換成多項(xiàng)式時仍成立． 例 21 求 xx darctan? . 解 先換元，令2tx ? ? ?0?t , 則 ttx d2d ? ． 原式 = ? ??? ?? 2da r c ta nd2a r c ta n ttttt = tt a rc ta n2 ?? tt a r c ta nd2 tt a r c ta n2 tttd122? ? = tt a rc ta n2 ? ?????? ?? tt d1 11 2 = tt a r c ta n2 Ctt ??? a rc t a n C xxx ??? a r c ta n)1( . 例 22 求積分 ? ??? NndxxaI nn ,)( 22 1解 用分部積分法，當(dāng) 時，有1?n? ?? ?? dxxaI nn 1221 1 )(? ????? ? dxxa xnxa x nn )()()( 222122 12? ??????? ?? dxxa axanxa x nnn ])()([)()( 222122122112))(()( nnnn IaInxa xI 211221 12 ????? ???])()([)( 11222 3212 1 ?? ????? nnn Inxa xnaI.,a r c t a n nICaxaI 即得以此作遞推公式，并由??11有理分式是指兩個多項(xiàng)式之比，即 ? ?? ?? ?xQxPxR ? ， 這里 )( xP 與 )( xQ 不可約．當(dāng) )( xQ 的次數(shù)高于 )( xP 的次 數(shù)時， )( xR 是真分式，否則 )( xR 為假分式 ． 利用多項(xiàng)式除法 ， 總可把假分式化為一多項(xiàng)式與真 分式之和 ， 例如 ,12 2125212 3 222 4 ?? ??????? ? xx xxxxx x 多項(xiàng)式部分可以逐項(xiàng)積分，因此以下只討論真分式的積 分法． 一般真分式的積分方法：（ 1 ）將分母 )( xQ 分解為 一次因式（可能有重因式）和二次質(zhì)因式的乘積． （ 2 ）把該真 分 式按分母的因式，分解成若干簡單分式 （稱為部分分式）之和．（ 3 ）簡單分式的積分 . 三、簡單有理式的積分 化真分式為部分分式之和舉例說明： （ 1 ） 分母 )( xQ 含有單因式 ax ? 時，這時分解式中 對應(yīng)有一項(xiàng)axA?，其中 A 為待定系數(shù)． 例如 )( xR =? ?? ? 21213223223????????????xCxBxAxxxxxxxx． 為確定系數(shù) CBA , , 我們用 )2)(1( ?? xxx 乘等式兩邊， 得 )1()2()2)(1(32 ???????? xCxxBxxxAx , 因?yàn)檫@是一個恒等式，將任何 x 值帶入都相等 . 故可令 0?x , 得 A23 ?? , 即32A ?? ．類似地，令 1?x , 得 B35 ? ， 即 B = 35； 令 2??x , 得 C61 ?? ， 即 16C ?? . 于是得到 )( xR =? ?? ?2132???xxxx=26113523??????xxx. (2) 當(dāng)分母 )( xQ 含有重因式 nax )( ? 時，這時部分分式 中相應(yīng)有 n 個項(xiàng)： ? ? ? ? ax Aax Aax A nnnn ?????? ?? 111 .. .. . . 例如 ? ? ? ? 111121222232???????????xCxBxAxxxxxxx. 為確定系數(shù) A ， B ， C ，將上式兩邊同乘以 ? ? 21?xx 得 ? ? ? ?111 22 ?????? xCxBxxAx , 令 0?x , 得 1?A ；再令 1?x , 得 2?B ；令 2?x , 得 CBA 225 ??? 代入已求得的 A ， B 值 ， 得 0C ? . 所以 ? ? 223212121??????xxxxxx . （ 3 ）當(dāng)分母 )( xQ 中含有質(zhì)因式 qpxx ??2，這時部 分分式中相應(yīng)有一項(xiàng)qpxxBAx???2. 例如 ? ? ? ?32 2442 3 1 313x x A Bx Cx x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?. 為確定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以 ? ?? ?31 2 ??? xxx ， 得 Ax ?? 4 ? ?32 ?? xx )1)(( ??? xCBx , 令 1?x 得， A55 ? , 即 1?A ；再令 0?x , 得 CA ?? 34 , 即1??C ；令 2?x , 得 CBA ??? 296 , 即 1??B ． 所以 311132423 ??????????xxxxxxx . （ 4 ）當(dāng)分母 )( xQ 含有 nqpxx )( 2 ?? 因式時，這種情 況積分過于繁復(fù)，我們略去不討論了． 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面 三種形式 : ? ?? ?? ?? ? ? ?221d2d3 d 4 0 .nAxxaAxxaA x Bx p qx px q??????????；； 前兩種積分 ， 簡單湊微分法即可獲解 ， 下面舉例說 明 （ 3） 式的積分方法 ． 例 20 求積分 xxxxd42232????. 解 改 寫 被 積 分 函 數(shù) 分 子 為?? 23 x235)22( ??x , ( 注意 : 括號內(nèi) 22 ?x 正好是分母的導(dǎo)數(shù) . 22 ?x = ? ????