有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分(編輯修改稿)
2024-09-25 09:08 本頁面
【文章內容簡介】 2 c o sx x xxxx x x x?????22c o s d2 d c o s 21 2 c o s c o s 1 2x t txx x t t?? ? ?? ? ? ???.dc os2s i n 2s i n2? ? xxx x求例 5 22sin 2 2 sin c o s ( i) ,sin 2 c o s sin 2 c o sx x xx x x x???由于 滿足情形解 返回 后頁 前頁 22 2 22 2 2 d ( 1 2 ) 2 dd1 2 1 2 2 ( 1 )t t t ttt t t t t? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 1 2 1ln 1 2 ln2 2 1tt t Ct??? ? ? ? ???2 1 2 1 c osln 1 2 c os c os ln .2 2 1 c osxx x Cx??? ? ? ? ???返回 后頁 前頁 222 2 2 2 222d 1 se c dsi n c os t anx x xba x b x axa?? ???2 2 221 d ( t an ) 1ar c t an t ant anx a axCbbaa bxa??? ? ???????? ?????1 ar c t an t an .a xCab b???? ????.)0(,c oss i n d 2222? ?? abxbxa x求例 6 t a n ,tx?因此可設解 ( iii ) ,由 于 被 積 函 數(shù) 滿 足 情 形返回 后頁 前頁 1. ( , ) d ( 0 )n ax bR x xc x d ad bc?? ??? 型 不 定 積 分,.n ax bt c x d?? ?令 可化為有理函數(shù)的積分四、某些無理函數(shù)的不定積分 .)2()1(d3 2? ?? xxx求例 7 解 由于 3 23 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ,2xx x xx???? ? ? ??? ???返回 后頁 前頁 3233 3 21 1 2 9, , d d .2 1 ( 1 )x t tt x x tx tt??? ? ?? ??因 此 令 則323 2d 3 1 2dd1 1 1( 1 ) ( 2 )xtt t t txx???? ? ???? ? ? ?????? ? ?221 1 2 3 dln 1 d2 1 2 1324ttttttt?? ? ? ? ??? ??????????21 1 2l n 1 l n ( 1 ) 3 ar c t an2 3tt t t C?? ? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 3 33 ln 2 12 xx? ? ? ? ?.)1(d4 3? ? xxx求例 8 4 43dd.1( 1 )xxxxxxx?????解 3 323123 ar c t an .32xx Cx??? ? ??? ?????返回 后頁 前頁 344 4 21 1 4 d, , d ,1 ( 1 )x t tt x xx t t??? ? ???設 則244d4d11xtttxxx??????22112d11 ttt???????????1l n 2 arc t an1t tCt?? ? ??444111ln 2 ar c t an .11xxxCxxx???? ? ???返回 后頁 前頁 型不定積分 22. ( , ) dR x ax bx c x???22224( ) ,124b ac bax bx c a xaa?? ?? ? ? ? ?????由方 于法,44,2 222abackabxu ????若記2a x b x c??則 化為2 2 2 2 2 2( i ) ( ) , ( i i ) ( ) , ( i i i ) ( ) .a u k a u k a k u? ? ?或或時也可直接化為有理函數(shù)的不定積分 . 可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分 ,有 返回 后頁 前頁 因此可分別設把它們轉化為三角函數(shù)有理式的不定積分 . ( ii ) s e c 。u k t? ?( ii i ) s in .u k t? ?( i ) t a n 。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個不同實根 令).(2 ????? xtcbxax返回 后頁 前頁 .32d2? ?? xxx x求例 9 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???返回 后頁 前頁 22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ? 2 221 23,2 1 1u xxux? ??????返回 后頁 前頁 22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x????????得22 : 2 3 ,x x x t? ? ? ?用方法 令 則? ? ???? ?2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222???????????ttttttxx返回 后頁 前頁 22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t? ? ? ?? ? ?? ? ?
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