有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分-資料下載頁(yè)
2025-08-11 09:08本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】不定積分的方法與步驟.有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù),m>n時(shí)稱(chēng)為真分式,m≤n時(shí)稱(chēng)為假分式.假分式可化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.式.對(duì)應(yīng)于的部分分式是。上述部分分式中的待定系數(shù)Ai,Bi,Ci.組,由此解出待定系數(shù).下面解這兩類(lèi)積分.
【正文】 )r r r? ? ? ? ???若 在 上 連 續(xù) 且 與 不 同 時(shí) 為 零 ,22( ) ( ) d .s r r?? ? ? ?????則,c os)(s i n)()( ????? rry ????( ) ( ) c o s ( ) s in ,x r r? ? ? ? ??? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 解 2( ) 3 c o s s in ,x t a t t? ??2( ) 3 s in c o s .y t a t t? ?π22204 ( ) ( ) ds x t y t t?????因 此? ? ? ?π 2222204 3 c o s sin 3 sin c o s da t t a t t t? ? ??π201 2 sin c o s da t t t? ?π220s i n122ta?? .6a?例 1 33c o s , s in , [ 0 , 2 π ]x a t y a t t? ? ?求 星 形 線(xiàn).的 周 長(zhǎng)xyO a 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 200e e e e1 d d .22x x a aaas y x x?????? ? ? ???因 此ee [ 0 , ] .2xxya???求 懸 鏈 線(xiàn) 在 上 的 一 段 弧 長(zhǎng)例 2 解 ee ,2xxy??? ?22 ( e e )1.4xxy?????解 2 π 2 π2 2 200( ) ( ) d 1 ds r r a? ? ? ? ??? ? ? ???222 π 14 π ln( 2 π 14 π ).2a ??? ? ? ? ???段 弧長(zhǎng) . 例 3 , [ 0 , 2 π ] ( 0 )r a a??? ? ?求 阿 基 米 德 螺 線(xiàn) 的 一返回 后頁(yè) 前頁(yè) 在光滑曲線(xiàn) 上 , 弧段 與 的長(zhǎng)度相差不 C PQ QR*二、平面曲線(xiàn)的曲率 曲率是刻畫(huà)曲線(xiàn)的彎曲程度的一個(gè)概念 .如圖所示 , O xyCP QR??()t???多而彎曲程度卻很不一樣 . 轉(zhuǎn)過(guò)的角度 要大得多 Δ?比動(dòng)點(diǎn)從 Q 移到 R 時(shí)切線(xiàn) . Δ?到 Q 時(shí) , 切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度 這反映動(dòng)點(diǎn)沿曲線(xiàn)從 P 移 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 設(shè) 表示曲線(xiàn)在點(diǎn) 處切線(xiàn)的傾角 , ()t? ( ( ) , ( ) )P x t y tΔΔK s??Δ Δl i m l i m ,Δ Δt 0 s 0dKs s ds??? ? ???? ? ?Δ ( Δ ) ( )t t t? ? ?? ? ?表示動(dòng)點(diǎn)由 P 沿曲線(xiàn)移至 (( Δ ) , ( Δ ))Q x t t y t t?? PQ時(shí)切線(xiàn)傾角的增量 .若 Δs之長(zhǎng)為 ,則稱(chēng) PQ為弧段 的平均曲率 .如果存在有限極限 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 則稱(chēng)此極限 K 為曲線(xiàn) C 在點(diǎn) P 的曲率 . 由于曲線(xiàn)光滑 ,故總有 ( ) ( )( ) ar c t an ( ) ar c c ot .( ) ( )y t x tttx t y t?????? 或( ) , ( )x t y t若 二 階 可 導(dǎo) , 則 由1222( ) ( ) ( )s t x t y t? ? ? ? ?????可得 32d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .d ( ) ( ) ( )22t x t y t x t y ts s t x t y t?? ? ? ?? ?? ????? ? ? ? ????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 即 2 2 3 2 .()x y x yKxy? ?? ?? ??????若曲線(xiàn)由 表示 ,則 ()y f x?2 3 2 .( 1 )yKy?????例 1 求橢圓 上曲率 c o s , s in , 0 2 πx a t y b t t? ? ? ?解 由于 最大和最小的點(diǎn) . ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?s in , ( ) c o s , c o s , s in ,x a t x t a t y b t y b t返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此橢圓在各點(diǎn)的曲率為 322 2 2 2 3 2 2 2 2 2 .( sin c os ) ( ) sinab abKa t b t a b t b??? ??????ma x min,.22abKKba??當(dāng) 時(shí) , 在 處曲率最大 ,在 0ab?? 0, πt ? π,2t ?由例 1可得 ,若 則各點(diǎn)處曲率相等 , 為 ,a b R?? 3π2 處曲率最小 , 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 顯然 , 直線(xiàn)上各點(diǎn)處的曲率為 0. 設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn) P處曲率 若過(guò) P 作一個(gè)半徑為 ?1K? ? 的圓 , 使它在點(diǎn) P 處與曲線(xiàn)有相同的切線(xiàn) , 并在 P 近旁與曲線(xiàn)位于切線(xiàn)的同側(cè) (見(jiàn)圖 ). 在 P 處的曲率圓 .曲率圓 率圓的圓心稱(chēng)為曲率中心 . 的半徑稱(chēng)為曲率半徑 , 曲 我們把這個(gè)圓稱(chēng)為曲線(xiàn) O xyCP0P1K返回 后頁(yè) 前頁(yè) 火車(chē)軌道從直道進(jìn)入半徑為 R 的 2va ?? 不 發(fā) 生 跳 躍 式 的式 的 突 變 ).(使火車(chē)的向心加速度 以保證火車(chē)行駛安全 1,R道 (用虛線(xiàn)表示 ), 使得曲率由零連續(xù)地變到 圓形彎道時(shí) ,為了行車(chē)安全 ,必須經(jīng)過(guò)一段緩沖軌 例 2 如圖所示 , O xyQRB00( , )A x y0( ,0)Cxl返回 后頁(yè) 前頁(yè) 3,6 xy Rl?l OA其 中 是 的 弧 長(zhǎng) .對(duì)此曲線(xiàn) 用曲率公式求得 : OA圓 弧 軌 道 , 為 緩 沖 軌 道 .緩沖曲線(xiàn)常采用三次 ( 0 )x x A B R?圖 中 軸 表 示 直 線(xiàn) 軌 道 , 是 半 徑 為 的? ?22322 2 48 .4R l xKR l x??曲線(xiàn) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 的曲 率從 0 漸漸增加到接近于 從而起到緩沖 1,R0001xx l KRR??當(dāng) , 且 很 小 時(shí) ,.因此曲線(xiàn)段 OA000x x K當(dāng) 從 變 為 時(shí) , 曲 率 從 連 續(xù) 地 變 為? ?2 2 2000 432 322 2 42 00288 1.4 4R l x l xKR xR l xlR? ? ?????????作用 .
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