有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分-wenkub
2022-08-31 09:08:29 本頁面
【正文】 12221)( 22 ?? ???????? xx xxxxxR于是完成了 R(x) 的部分分式分解 : 返回 后頁 前頁 任何有理真分式的不定積分都可化為如下兩種形 d( i ) 。() kxxa??22( i i ) d ( 4 0 ) .() kLx M x p qx px q? ?????二 、有理真分式的遞推公式 1ln | | , 1 ,d( i ) 1, 1.()( 1 ) ( )kkx a C kxCkxak x a?? ? ???? ???? ?????下面解這兩類積分 . 式的不定積分之和： 返回 后頁 前頁 2 2 2 2dd.( ) ( )kkttL t Nt r t r?? ????1,k ? 時22d1 a r c t a n .tt Ct r r r????2 2 2dd( ) ( )kkLx M Lt Nxtx px q t r?? ?? ? ???22221d ln( ) ,2t t t r Ctr ? ? ???( ii ) ,2ptx??令22 ,42p p Lr q N M? ? ? ? 則返回 后頁 前頁 222 2 2 2 2 2 11 d ( ) 1d.( ) 2 ( ) 2 ( 1 ) ( )k k kt t rtCt r t r k t r ??? ? ?? ? ? ???? ?? 22d ,()k ktI tr記則?????2 2 22 2 21 ( ) d()k kt r tItr t r??? ??212 2 2 211 d()k ktItr r t r2,k 時?返回 后頁 前頁 112 2 2 2 111 .2 ( 1 ) ( )kk ktIIr r k t r?? ???? ? ????? ??12 2 2 2 11 1 1d2 ( 1 ) ( )k kItr r k t r? ????????? ???12 2 2 1 223 ,2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )kk ktkIIr k t r r k ?????? ? ?解得 2 , 3 , .k ?返回 后頁 前頁 .1d)1()2( d2d22d 22 ???? ?????????? xx xxx xx xx x4 3 25 4 3 22 4 9 10 d5 2 4 8x x x x xx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ??解 由例 1, ? ? ? ?? ? ? ? ??x x x xIxx x x x x4 3 25 4 3 22 4 9 10 d.5 2 4 8求=例 2 其中 2( 1 ) d1xxxx????2221 d ( 1 ) 1 1 d2 1 2 1xx xx x x x????? ? ? ???返回 后頁 前頁 21 1 2 2 1l n | 1 | ar c t an .22 33xx x C?? ? ? ? ? ?2221 1 dln | 1 |22 1322xxxx? ? ? ??????? ?????? ???于是 ???1 2 1arc t an .33x C? ? ? ? ? ? ? ?? 211ln | 2 | ln | 2 | ln | 1 |22I x x x xx返回 后頁 前頁 .d)22( 1 222xxx x? ?? ?求例 3 解 由于 222222)22()12(22)22(1??????????xxxxxxxx,)22( 12221 222 ?? ????? xx xxx122d d ( 1 ) ar c t an ( 1 ) ,2 2 ( 1 ) 1xx xCx x x?? ? ? ?? ? ? ???而 返回 后頁 前頁 .)1( d22 1 222 ? ???? ?? t txx? ?2222 2d 2 2 d ( 1 )( 2 2 ) ( 1 ) 1xx xxx x?? ????? ????????2 2 2 22 1 ( 2 2 ) 1dd( 2 2 ) ( 2 2 )xxx x x x? ? ??? ? ? ???2211 ar c t an ( 1 ) ,2 ( 2 2 ) 2x xCxx?? ? ? ???2 2 2 2d 1 d2( 1 ) 2 ( 1 ) 1t t tt t t??? ? ???由遞推公式 返回 后頁 前頁 22 2 213d( 2 2 ) 2 ( 2 2 )xx xx x x x?? ?? ? ? ??于是 3 a r c t a n( 1 ) .2 xC? ? ?返回 后頁 前頁 sin x, cos x 及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函 三、三角函數(shù)有理式的不定積分 t a n , ( sin , c o s ) d2xt R x x x? ?通 過 變 換 可 把 化 為有理函數(shù)的不定積分 . 把 ,122t a n12t a n22c o s2s i n2c o s2s i n2s i n2222 ttxxxxxxx??????數(shù) R (sin x, cos x) 稱為三角函數(shù)有理式 . 返回 后頁 前頁 ,112t a n12t a n12c o s2s i n2s i n2c o sc o s22222222ttxxxxxxx?????????22d d( 2 a r c t a n ) d1x t tt?? ?22 2 22 1 2( si n , c os ) d , d .1 1 1ttR x x x R tt t t?? ????? ? ?????代入原積分式，得到 返回 后頁 前頁 d .1 sin c o sxxx求 ???例 4 t a n ,2xt ?令則解 d1 sin c o sxxx???22222d121111tttttt????????d l n 1 l n 1 t an .12tx t C Ct? ? ? ? ? ? ???返回
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