有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分(參考版)
2024-08-24 09:08本頁(yè)面
【正文】 1習(xí)題 6 可知 .)()()()()()( 2222 iiiiii yyyxyx ?????? ???????????( ) [ , ] , [ , ]yt ? ? ? ?又 在 上 連 續(xù) 從 而 在 上 一 致 連 續(xù) ,?0 , 0 , ,T? ? ?? ? ?因 此 對(duì) 任 意 存 在 當(dāng) 時(shí)( ) ( ) , 1 , 2, , .iiy y i n??? ???? ? ? ??于是 , ? ?2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( ) Δni i i i iix y x y t? ? ? ??? ? ? ?? ? ??1( ) ( ) Δ ,ni i iiy y t? ? ????? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 即 ? ?2 2 2 201li m ( ) ( ) ( ) ( )0,ni i i i i i i i iTix y x y t? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???????從而 22101l i m ( ) ( ) d .niiTis P P x t y t t???? ???? ? ?? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此當(dāng) f 在 [a, b] 上連續(xù)可微時(shí) , 21 ( ) d .bas f x x????示 ,則 C 又 可 看作 ( ) c o s , ( ) s in , [ , ] .x r y r? ? ? ? ? ? ?? ? ?注 1 若曲線 C 由直角坐標(biāo)方程 ( ) , [ , ]y f x x a b??表示 ,則 C 亦可看作 , ( ) , [ , ] .x x y f x x a b? ? ?注 2 若曲線 C 由極坐標(biāo)方程 ( ) , [ , ]rr ? ? ? ? 表??由于 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),()()()( 2222 ???? rryx ??????( ) [ , ] , ( ) ( )r r r? ? ? ? ???若 在 上 連 續(xù) 且 與 不 同 時(shí) 為 零 ,22( ) ( ) d .s r r?? ? ? ?????則,c os)(s i n)()( ????? rry ????( ) ( ) c o s ( ) s in ,x r r? ? ? ? ??? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 解 2( ) 3 c o s s in ,x t a t t? ??2( ) 3 s in c o s .y t a t t? ?π22204 ( ) ( ) ds x t y t t?????因 此? ? ? ?π 2222204 3 c o s sin 3 sin c o s da t t a t t t? ? ??π201 2 sin c o s da t t t? ?π220s i n122ta?? .6a?例 1 33c o s , s in , [ 0 , 2 π ]x a t y a t t? ? ?求 星 形 線.的 周 長(zhǎng)xyO a 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 200e e e e1 d d .22x x a aaas y x x?????? ? ? ???因 此ee [ 0 , ] .2xxya???求 懸 鏈 線 在 上 的 一 段 弧 長(zhǎng)例 2 解 ee ,2xxy??? ?22 ( e e )1.4xxy?????解 2 π 2 π2 2 200( ) ( ) d 1 ds r r a? ? ? ? ??? ? ? ???222 π 14 π ln( 2 π 14 π ).2a ??? ? ? ? ???段 弧長(zhǎng) . 例 3 , [ 0 , 2 π ] ( 0 )r a a??? ? ?求 阿 基 米 德 螺 線 的 一返回 后頁(yè) 前頁(yè) 在光滑曲線 上 , 弧段 與 的長(zhǎng)度相差不 C PQ QR*二、平面曲線的曲率 曲率是刻畫曲線的彎曲程度的一個(gè)概念 .如圖所示 , O xyCP QR??()t???多而彎曲程度卻很不一樣 . 轉(zhuǎn)過(guò)的角度 要大得多 Δ?比動(dòng)點(diǎn)從 Q 移到 R 時(shí)切線 . Δ?到 Q 時(shí) , 切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度 這反映動(dòng)點(diǎn)沿曲線從 P 移 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 設(shè) 表示曲線在點(diǎn) 處切線的傾角 , ()t? ( ( ) , ( ) )P x t y tΔΔK s??Δ Δl i m l i m ,Δ Δt 0 s 0dKs s ds??? ? ???? ? ?Δ ( Δ ) ( )t t t? ? ?? ? ?表示動(dòng)點(diǎn)由 P 沿曲線移至 (( Δ ) , ( Δ ))Q x t t y t t?? PQ時(shí)切線傾角的增量 .若 Δs之長(zhǎng)為 ,則稱 PQ為弧段 的平均曲率 .如果存在有限極限 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 則稱此極限 K 為曲線 C 在點(diǎn) P 的曲率 . 由于曲線光滑 ,故總有 ( ) ( )( ) ar c t an ( ) ar c c ot .( ) ( )y t x tttx t y t?????? 或( ) , ( )x t y t若 二 階 可 導(dǎo) , 則 由1222( ) ( ) ( )s t x t y t? ? ? ? ?????可得 32d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .d ( ) ( ) ( )22t x t y t x t y ts s t x t y t?? ? ? ?? ?? ????? ? ? ? ????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 即 2 2 3 2 .()x y x yKxy? ?? ?? ??????若曲線由 表示 ,則 ()y f x?2 3 2 .( 1 )yKy?????例 1 求橢圓 上曲率 c o s , s in , 0 2 πx a t y b t t? ? ? ?解 由于 最大和最小的點(diǎn) . ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?s in , ( ) c o s , c o s , s in ,x a t x t a t y b t y b t返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此橢圓在各點(diǎn)的曲率為 322 2 2 2 3 2 2 2 2 2 .( sin c os ) ( ) sinab abKa t b t a b t b??? ??????ma x min,.22abKKba??當(dāng) 時(shí) , 在 處曲率最大 ,在 0ab?? 0, πt ? π,2t ?由例 1可得 ,若
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