類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)-wenkub
2022-09-12 08:12:37 本頁面
【正文】 )(])[(21 * ?? ?? deflc lkillk ???22,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則2*2()1( ) [ ]kkixkkTikTf x c ec f e dTww?????? ? ??????22 ,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則22222201( ) d2( ) c o s d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTkkkkafTa f kTb f kT??? w ? ?? w ? ????????????LL01( ) ( c o s s in )k k k kkf x a a x b xww??? ? ??實數(shù)形式 復(fù)數(shù)形式 例 定義方波函數(shù)為 ??????1||01||1)(tttf如圖所示 : 1 ?1 o t f(t) 1 現(xiàn)以 f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為 T的周期函數(shù) fT(t), 令 T=4, 則 4 ( ) ( 4 ) ,nf t f t n??? ? ????1 ?1 3 T=4 f4(t) t 22 ,42T? ? ?w ???2kkk ?ww??求傅立葉級數(shù)展開 則由 ? ?22214211()11()44111441sin11sinc ( ) ( 0 , 1 , 2 , )22TkTkkk k kitkTi t i ti t i ikkkkkc f t e dtTf t e dt e dte e eiikwwww w wwwwww???????????? ? ???? ? ? ? ? ????K2*21( ) 。稱為其中)(ds i n)(1)(dc o s)(1)(xffBfA???????????w???w?w???w的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…) 是分離值 222222010( ) ( c os si n )1( ) d2( ) c os d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTk k k kkkkkkg x a a x b xagTa g kTb g kTww??? w ? ?? w ? ??????? ? ??????????LL的傅立葉變換式。稱為其中)(ds i n)(2)(0xffB ??? ?w???w的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????的傅立葉變換式。展將矩形脈沖 )2/()(,21||021||1)(Ttr e c thtfxxxr e c t????????? dc os)()()(0tAtftf????葉余弦積分是偶函數(shù)，可展為傅里解：?T t f(t) T o h ww??w???w????w???wThhThr e c tfAT s i n2dc os2dc os)2/(2dc os)(2)(000???????????其傅里葉變換為ω o A(ω) 2hT/π π/T 2π/T 3π/T 4π/T 頻譜圖是連續(xù)譜，含有一切頻率。稱為其中)(ds i n)(2)(0xffB ??? ?w???w稱為傅立葉余弦積分分為為偶函數(shù)，則傅立葉積若 xdAxfxfc o s)()()(20???的傅立葉余弦變換。 δ函數(shù) 在原來電流為零的電路中 , 某一瞬時 (設(shè)為 t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖 , 現(xiàn)在要確定電路上的電流 i(t). 以 q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù) , 則 ??????.0,1。( ) ( )。 0()。(x)]=iwF(ω) )()]([de)(21e)(21de)(21)]([?w??wwwFixfixxfixfxxfxfxixixi????????????????????????FF0 ? 證 由傅氏變換的定義 , 并利用分部積分可得 ? 推論 ? F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 同樣 , 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 , 設(shè) F [f(x)]=F(w), 則 )]([)()(dd,) ] .([)(ddxfxiFxi x fFnnnnF有一般地F????wwww2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w??????? ?()()d( ) d ( ) ,dd( ( ) d ) [ ( ) ]dxxf x x f xxF f x x f xx???證 因 為=F[ ( ) ] ( )f x i Fww? ?F() ( ) dxi f x xw ????????F3 相似性定理 1[ ( ) ] ( 0 )f a x F aaaw????????F則令F axyxaxfaxf xi ?? ?????? de)(21)]([ w?證： )1de)(21de)(21)]([//aF(Fw??wwaxxfayyfaaxfaxiayi???????????????4. 延遲定理 )]([)]([ 00 xfexxf xi FF w???00000()1[ ( ) ] ( ) e d21( ) e d21e ( ) e d e [ ( ) ]2ixi u xi x i xiuf x x f x x xf u uf u u f xwwww w?????????????????? ???? ? ???????FF? 證 由傅氏變換的定義 , 可知 ? 令 xx0=u 5 位移定理 )()]([ 00 ?? Fxfe xiF)(de)(21de)(e21)]([e0)(000ww??ww?????????????????FxxfxxfxfxixixixiF證： 6 卷積定理 若 F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 則 ? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF1 2 1 2F [ ( ) * ( ) ] 2 ( ) ( )f x f x F F? w w?證 按傅氏變換的定義 , 有 的卷積和為其中)()()()(21)(*)(212121xfxfdxffxfxf ????
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