類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)-資料下載頁
2025-08-23 08:12本頁面
【導讀】在單位圓內(nèi)各奇點留數(shù)之和。數(shù)之和內(nèi)上半平面內(nèi)各奇點留li?如果f是有理分式，上述條件意味著分母沒有實的零點，且分母的次數(shù)至少高于分子兩次。掌握Fourier級數(shù)的展開方法。了解δ函數(shù)的基本性質(zhì)。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日。9歲父母雙亡，被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃。及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務(wù)委員會主席。示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文。從未公開露面過。比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。里葉積分，這個名稱一直沿用至今。遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。這一見解已成為數(shù)學?！爸芷谛盘柖伎杀硎緸橹C波關(guān)系的正弦。而Asin又可以看作是兩個周期函數(shù)。sinwt和coswt的線性組合。則可取三角函數(shù)族
【正文】 F [f(x)]=F(w), 則 )]([)()(dd,) ] .([)(ddxfxiFxi x fFnnnnF有一般地F????wwww2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w??????? ?()()d( ) d ( ) ,dd( ( ) d ) [ ( ) ]dxxf x x f xxF f x x f xx???證 因 為=F[ ( ) ] ( )f x i Fww? ?F() ( ) dxi f x xw ????????F3 相似性定理 1[ ( ) ] ( 0 )f a x F aaaw????????F則令F axyxaxfaxf xi ?? ?????? de)(21)]([ w?證： )1de)(21de)(21)]([//aF(Fw??wwaxxfayyfaaxfaxiayi???????????????4. 延遲定理 )]([)]([ 00 xfexxf xi FF w???00000()1[ ( ) ] ( ) e d21( ) e d21e ( ) e d e [ ( ) ]2ixi u xi x i xiuf x x f x x xf u uf u u f xwwww w?????????????????? ???? ? ???????FF? 證 由傅氏變換的定義 , 可知 ? 令 xx0=u 5 位移定理 )()]([ 00 ?? Fxfe xiF)(de)(21de)(e21)]([e0)(000ww??ww?????????????????FxxfxxfxfxixixixiF證： 6 卷積定理 若 F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 則 ? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF1 2 1 2F [ ( ) * ( ) ] 2 ( ) ( )f x f x F F? w w?證 按傅氏變換的定義 , 有 的卷積和為其中)()()()(21)(*)(212121xfxfdxffxfxf ?????? ????()121 ( ) e ( ) e d2i i xf f x x dw ? w ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF122 ( ) ( )FF? w w??yx ???令()2 2 2( ) e d ( ( ) ) ( )iyf y y F f y Fw w?? ??? ???? 運用傅氏變換的微分性質(zhì)以及積分性質(zhì) , 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 , 通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換 , 就可以得到此微分方程的解 . 另外 , 傅氏變換還是求解數(shù)學物理方程的方法之一 . ? 1 導數(shù)定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w????????例 求微分積分方程 )(d)()()( thttxctbxtxa t ???? ???????????????wwwwwwwcaibHXHXicbXXai)()()()()()(? 解 : 根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì) , ? F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). ? 在方程兩邊取傅氏變換 , 可得 的解 , 其中 ??t+?, a,b,c均為常數(shù) . x(t) = F 1 [ X(w) ], ww w deXtx xi????? )()(在物理和工程技術(shù)中 , 常常會碰到單位脈沖函數(shù) . 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) , 如在電學中 , 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流 。 在力學中 , 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等 . 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù) . 167。 δ函數(shù) 在原來電流為零的電路中 , 某一瞬時 (設(shè)為 t=0)進入一單位電量的脈沖 , 現(xiàn)在要確定電路上的電流 i(t). 以 q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù) , 則 ??????.0,1。0,0)(tttqttqttqttqtit ???)()(limd)(d)(0?????? 由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率 , 即 所以 , 當 t?0時 , i(t)=0, 由于 q(t)是不連續(xù)的 , 從而在普通導數(shù)意義下 , q(t)在這一點是不能求導數(shù)的 . 如果我們形式地計算這個導數(shù) , 則得 ???????? ??????? ttqtqitt ?????1l i m)0()0(l i m)0(00? 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度 . 為了確定這樣的電流強度 , 引進一稱為狄拉克 (Dirac)的函數(shù) , 簡單記成 d函數(shù) . 有了這種函數(shù) , 對于許多集中于一點或一瞬時的量 , 例如點電荷 , 點熱源 , 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等 , 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣 , 以統(tǒng)一的方式加以解決 . 二 d函數(shù)的定義與性質(zhì) ? （ 1）定義 0 。 0()。0xxxd??? ????0000。( ) ( )。tti t t tttd??? ? ? ????????????????xxttxHttxH0)x00)x1d)()(d)()(2（（是階躍函數(shù)dd1 奇偶性 δ（ x)=δ(x), δ’（ x)=δ’(x) 03( ) ( ) dt t f t td???????挑 選 性? （ 2）性質(zhì) 0()ft三 d函數(shù)的傅立葉變換 ( ) [ ( ) ]1( ) e d2itFtttwwdd??????????F? d函數(shù)的傅氏積分為 : wwd w deFt ti????? )()(011e22ittw?????1()2itt e dwdw????? ?例 求正弦函數(shù) f(t)=sinw0t的傅氏變換 ? ???? ??? tttfF ti ds i ne2 1)]([)( 0w?w wF? ?? ?)()(2)(2)(241dee41de2ee210000)()(0000wwdwwdww?dww?d???wwww????????????????????????????iitititititititi1()2itt e dwdw????? ?如圖所示 : t sint 1/2 1/2 ?w0 w0 O w |F(w)| ? 在頻譜分析中 , 傅氏變換 F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù) , 而它的模 |F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜 (亦簡稱為頻譜 ). 由于w是連續(xù)變化的 , 我們稱之為連續(xù)頻譜 , 對一個時間函數(shù)作傅氏變換 , 就是求這個時間函數(shù)的頻譜 .
教學課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1