類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)-文庫吧
2025-07-29 08:12 本頁面
【正文】 量的變化函數(shù) , 全部滿足狄氏條件 . 實(shí)際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的 , 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù) , 使得思維簡單一些 . 二 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開 )(s i n)(1????kk lxkbxf ?若 f(x)是奇函數(shù)，則 ak為 0 叫做傅里葉 正弦 級數(shù) ，f(0)=f(l)=0 001( ) d 021( ) c os d 0 ( 1 , 2 , )12( ) si n d ( ) si n d ( 1 , 2 , )lllllllkkaflka f kllkkb f f kl l l l??????? ? ? ?? ? ? ??????? ? ?? ? ???????????10 )s i nc os()(kkk lxkblxkaaxf ??)(c os)(10 ?????kk lxkaaxf ?若 f(x)是偶函數(shù)，則 bk為 0，展開式為 叫做 傅里葉余弦級數(shù) , f ‘(0)=f ‘(l)=0 00011( ) d ( ) d212( ) c os d ( ) c os d ( 1 , 2 , )1( ) si n d 0 ( 1 , 2 , )llllllllkka f fllkka f f kl l l lkb f kll? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????? ? ? ?? ? ??????三 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開 ? f(x)定義在（ 0,l),可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù) g(x), 而在 (0,l)上， g(x)≡f(x).然后對g(x)作傅立葉級數(shù)展開，該級數(shù)的和在（ 0,l)上代表 f(x). ? 延拓的方式有無數(shù)種，因而展開式也有無數(shù)種，但他們在 (0,l)上均代表 f(x)。 ? 有時(shí)，對函數(shù) f(x)邊界的限制就決定了延拓的方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ，則應(yīng)延拓成 奇 周期函數(shù)， 如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ，則應(yīng)延拓成 偶 的周期函數(shù)。 利用三角函數(shù)的指數(shù)形式 2s i n,2co sjjjjjjiiii eeiee?? ?????由????????????????????10 22)(klxkilxkiklxkilxkikeeibeeaaxf????四 復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù) ?????????? ?????10 22klxkikklxkikk eibaeibaa??? 可將級數(shù)表示為 : 00, 1 , 2 , 3 ,2, 1 , 2 , 3 ,2kkkkkkcaa ibcka ibck????????KK且 令),2,1(ds i n)(1),2,1(dc o s)(1d)(210?????????????klkflbklkflaflallllllkk??????????由于01011()( )kk x k xiillkkkk x k x k xi i il l lk k kkkf x c c e c ec c e c e c e??? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ? ??? ? ?)(])[(21 * ?? ?? deflc lkillk ???22,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則2*2()1( ) [ ]kkixkkTikTf x c ec f e dTww?????? ? ??????22 ,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則22222201( ) d2( ) c o s d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTkkkkafTa f kTb f kT??? w ? ?? w ? ????????????LL01( ) ( c o s s in )k k k kkf x a a x b xww??? ? ??實(shí)數(shù)形式 復(fù)數(shù)形式 例 定義方波函數(shù)為 ??????1||01||1)(tttf如圖所示 : 1 ?1 o t f(t) 1 現(xiàn)以 f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為 T的周期函數(shù) fT(t), 令 T=4, 則 4 ( ) ( 4 ) ,nf t f t n??? ? ????1 ?1 3 T=4 f4(t) t 22 ,42T? ? ?w ???2kkk ?ww??求傅立葉級數(shù)展開 則由 ? ?22214211()11()44111441sin11sinc ( ) ( 0 , 1 , 2 , )22TkTkkk k kitkTi t i ti t i ikkkkkc f t e dtTf t e dt e dte e eiikwwww w wwwwww???????????? ? ???? ? ? ? ? ????K2*21( ) 。 ( ) [ ]kkTi x ikkk Tf x c e c f e dTw w ?????? ? ????? ?() kixkkf t c e w??? ? ?? ?得 1 ?1 3 T=4 f4(t) t sinc函數(shù)介紹 則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)用不嚴(yán)格的形式就寫作所以定義但是因?yàn)樘幨菬o定義的嚴(yán)格講函數(shù)在函數(shù)定義為,10s i n,1)0s i n c (1s i nlim,0s i n)s i n c (s i n c0???????xxxxxxxxxxsinc函數(shù)的圖形 : sinc(x) x π 2π 前面計(jì)算出 1s in c ( ) ( 0 , 1 , 2 , )22,2kkkkckkk k cTw??ww? ? ? ?? ? ?L可 將 以 豎 線 標(biāo) 在 頻 率 圖 上w 現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍 , 令 T=8, 以 f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為 8的周期函數(shù) f8(t) 4,4822,)8()(8?ww???wnnTntftfnn??????? ??????1 ?1 7 T=8 f8(t) t 則 ? ?),2,1,0()s i n c (41s i n4181118181)(81)(11144822??????????????????????????neeieidtedtetfdtetfTcnnniintintititiTnnnnnnTTnwwwwwwww則在 T=8時(shí) , 以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,482),2,1,0()s i n c (41??www??????? ?w 如果再將周期增加一倍 , 令 T=16, 可計(jì)算出 以豎線標(biāo)在頻率圖上
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