類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)-文庫(kù)吧資料
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【正文】 22222010( ) ( c os si n )1( ) d2( ) c os d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTk k k kkkkkkg x a a x b xagTa g kTb g kTww??? w ? ?? w ? ??????? ? ??????????LL的傅立葉變換式。展將矩形脈沖 )2/()(,21||021||1)(Ttr e c thtfxxxr e c t????????? dc os)()()(0tAtftf????葉余弦積分是偶函數(shù)，可展為傅里解：?T t f(t) T o h ww??w???w????w???wThhThr e c tfAT s i n2dc os2dc os)2/(2dc os)(2)(000???????????其傅里葉變換為ω o A(ω) 2hT/π π/T 2π/T 3π/T 4π/T 頻譜圖是連續(xù)譜，含有一切頻率。稱為其中)(dc o s)(2)(0xffA ??? ?w???w例 矩形函數(shù)為 11 | |2( ) ,10 | |2( ) ( )xre c t xxf t h re c t t????? ?? ????函 展 傅 立 分 。稱為其中)(ds i n)(2)(0xffB ??? ?w???w的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????的傅立葉變換式。 2, f(x)在無(wú)限區(qū)間 (??, +?)上絕對(duì)可積 , 則 f(x)可表成傅立葉積分，且 積分值 =[f(x+0)+f(x0)]/2。稱為其中)(ds i n)(1)(dc o s)(1)(xffBfA???????????w???w?w???w的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi) ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…) 是分離值 222222010( ) ( c os si n )1( ) d2( ) c os d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTk k k kkkkkkg x a a x b xagTa g kTb g kTww??? w ? ?? w ? ??????? ? ??????????LL的傅立葉變換式。 傅立葉積分與傅立葉變換 （一）實(shí)數(shù)形式的傅立葉積分 對(duì)任何一個(gè) 非周期函數(shù) f(x)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù) g(x)當(dāng) T=2l??時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的 . 作周期為 T的函數(shù) g(x), 使其在 [l,l]之內(nèi)等于 f(x), 在 [l,l]之外按周期 2l延拓到整個(gè)數(shù)軸上 , 則 l越大 , g(x)與 f(x)相等的范圍也越大 , 這就說(shuō)明當(dāng) T=2l ??時(shí) , 周期函數(shù) g(x)便可轉(zhuǎn)化為 f(x), 即有 )()(lim2xfxgl????g(x)的傅立葉展開(kāi)式在 T→ ∞ 時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù) f(x)的傅立葉展開(kāi)。 利用三角函數(shù)的指數(shù)形式 2s i n,2co sjjjjjjiiii eeiee?? ?????由????????????????????10 22)(klxkilxkiklxkilxkikeeibeeaaxf????四 復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù) ?????????? ?????10 22klxkikklxkikk eibaeibaa??? 可將級(jí)數(shù)表示為 : 00, 1 , 2 , 3 ,2, 1 , 2 , 3 ,2kkkkkkcaa ibcka ibck????????KK且 令),2,1(ds i n)(1),2,1(dc o s)(1d)(210?????????????klkflbklkflaflallllllkk??????????由于01011()( )kk x k xiillkkkk x k x k xi i il l lk k kkkf x c c e c ec c e c e c e??? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ? ??? ? ?)(])[(21 * ?? ?? deflc lkillk ???22,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則2*2()1( ) [ ]kkixkkTikTf x c ec f e dTww?????? ? ??????22 ,kkl T kl T l? ? ?w w w? ? ? ? ?若 ， 則22222201( ) d2( ) c o s d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTkkkkafTa f kTb f kT??? w ? ?? w ? ????????????LL01( ) ( c o s s in )k k k kkf x a a x b xww??? ? ??實(shí)數(shù)形式 復(fù)數(shù)形式 例 定義方波函數(shù)為 ??????1||01||1)(tttf如圖所示 : 1 ?1 o t f(t) 1 現(xiàn)以 f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為 T的周期函數(shù) fT(t), 令 T=4, 則 4 ( ) ( 4 ) ,nf t f t n??? ? ????1 ?1 3 T=4 f4(t) t 22 ,42T? ? ?w ???2kkk ?ww??求傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi) 則由 ? ?22214211()11()44111441sin11sinc ( ) ( 0 , 1 , 2 , )22TkTkkk k kitkTi t i ti t i ikkkkkc f t e dtTf t e dt e dte e eiikwwww w wwwwww???????????? ? ???? ? ? ? ? ????K2*21( ) 。 ? 有時(shí)，對(duì)函數(shù) f(x)邊界的限制就決定了延拓的方式。” 這一見(jiàn)解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了基本的求解方法 傅里葉級(jí)數(shù)法 ,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展； 其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。 書(shū)中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。這本書(shū)出版于 1822年 ,也即比他首次在法蘭西研究院宣
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