第七講：分部積分法-有理函數(shù)積分法-文庫吧資料
2025-08-11 10:21本頁面
【正文】 23 ????? ?dtttt? ??? )1)(1( 16 2 dttttt? ???????????? 2133136Ctttt ??????? ar ct an3)1l n(23)1l n(3ln6 2dttttt? ?????? ?????? 21 331 36.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeexxxx???????23)1l n(3ln6 ???? tt dttttd? ?????2221131)1(說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況： )1( 多項式； 。第七講 不定積分的分布積分法 /有理函數(shù)積分法 1 分部積分法 2 幾類特殊函數(shù)的不定積分 問題 ? ? ?dxxe x解決思路 利用兩個函數(shù)乘積的求導法則 . 設函數(shù) )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有連續(xù)導數(shù) ,? ? ,vuvuuv ????? ? ? ,vuuvvu ?????,dxvuuvdxvu ?? ???? .duvuvu d v ?? ??分部積分公式 一、基本內(nèi)容 例 1 求積分 .c o s? xdxx解（一） 令 ,c os xu ? dvdxxdx ?? 221? x dxx c o s ??? x d xxxx s i n2c o s222顯然， 選擇不當 ，積分更難進行 . vu ?,解（二） 令 ,xu? dvxdxdx ?? s i ncos? x dxx c o s ?? xxd s in ??? xdxxx s i ns i n.coss i n Cxxx ???例 2 求積分 .2? dxex x解 ,2xu ? ,dvdedxe xx ??? dxex x2 ??? dxxeex xx 22.)(22 Cexeex xxx ????（再次使用分部積分法） ,xu? dvdxe x ?總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正 (余 )弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積 , 就考慮設冪函數(shù)為 , 使其降冪一次 (假定冪指數(shù)是正整數(shù) ) u例 3 求積分 .a r c t a n? xdxx解 令 ,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 22? x d xx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n222xdxxx ???dxxxxx 222112a r c t a n2 ???? ?dxxxx )1 11(21a r c t a n2 22????? ?.)a r c t a n(21a r c t a n22Cxxxx ????例 4 求積分 .ln3? x d xx解 ,ln xu ? ,443 dvxddxx ??? xdxx ln3 ??? dxxxx 34 41ln41.161ln41 44 Cxxx ???總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 . u例 5 求積分 .)s i n ( l n? dxx解 ? dxx )s i n ( l n ??? )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx? ??? dxxxxxx 1)c os ( l n)s i n( l n???? )][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxx
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