【微積分】定積分的換元法與分部積分法-文庫吧資料
2025-05-01 04:54本頁面
【正文】 ex xx? ?? 20 2s i n? ?dxx ?? 20s i n2??x d x性質(zhì) 若 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則 ?? ???babadxxbafdxxf )()( 證 設(shè) tbax ??? ,dtdx ???ax? ,bt ?? bx ? ,at ???? ???? abba dttbafdxxf )()(? ??? ba dxxbaf )(?? ?? bb dxxbfdxxf 00 )()(特殊例 8 若 )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，證明 （ 1 ）?????2200)( c o s)( s in dxxfdxxf 。定理 假設(shè)（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)；（ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（ 3 ）當(dāng) t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( .第七節(jié) 定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法 證 設(shè) )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，),()()( aFbFdxxfba ???則? ??)]([ tF ?? )()]([ ttF ?? ??? ),()]([ ttf ? ???)]([)]([)()]([ ???????? FFdtttf ????)]([ tF ?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) . )()( aFbF ?? dxxfba?? )(應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意 : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) )( t? 后，不必象計算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時，積分限 也 相應(yīng)的改變 . 例 1. 計算 解 : 令 ,si n tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。0,0 ?? tx 時當(dāng) ., 2π?? tax 時∴ 原式 = 2atta d)2c o s1(2 2π02? ??)2s i n21(22tta ??02π?2π0 tt dco s 2O22 xay ??xya且 例 2. 計算 解 : 令 ,12 ?? xt 則 ,dd,212 ttxtx ???,0 時當(dāng) ?x ,4 時?x .3?t∴ 原式 = ttttd231 212? ??tt d)3(21 31 2? ??)331(21 3 tt ?? 13。 （ 2 ）???? ??00)( s in2)( s in dxxfdxxxf . 由此計算???02c os1s i ndxxxx. 證 （ 1） ? ?20 )( s in dxxf ? ?? 20 )]2[ s i n (? ?dxxf?? 20 )( co
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