【微積分】定積分的換元法與分部積分法-wenkub
2023-04-28 04:54:21 本頁(yè)面
【正文】 )s i n1 1s i n1 1(?dxxx? ?? 40 2s i n1 2?dxx ?? 40 2s e c2?xdx.2?402 ]t a n2[ ?x?例 7 計(jì)算 解 .)a r c t a n (s i n22???? dxexx原式 ? ???? 20 )]a r c t a n ()s i n ()a r c t a n (s i n[?dxexex xx.2??20]c os[2??x??? ??? 20 )]a r c t a n ()[ a r c t a n (s i n?dxeex xx? ?? 20 2s i n? ?dxx ?? 20s i n2??x d x性質(zhì) 若 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則 ?? ???babadxxbafdxxf )()( 證 設(shè) tbax ??? ,dtdx ???ax? ,bt ?? bx ? ,at ???? ???? abba dttbafdxxf )()(? ??? ba dxxbaf )(?? ?? bb dxxbfdxxf 00 )()(特殊例 8 若 )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，證明 （ 1 ）?????2200)( c o s)( s in dxxfdxxf 。定理 假設(shè)（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)；（ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（ 3 ）當(dāng) t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時(shí)， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( .第七節(jié) 定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法 證 設(shè) )( xF 是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù)，),()()( aFbFdxxfba ???則? ??)]([ tF ?? )()]([ ttF ?? ??? ),()]([ ttf ? ???)]([)]([)()]([ ???????? FFdtttf ????)]([ tF ?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一個(gè)原函數(shù) . )()( aFbF ?? dxxfba?? )(應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意 : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一個(gè)原函數(shù) )( t? 后，不必象計(jì)算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時(shí)，積分限 也 相應(yīng)的改變 . 例 1. 計(jì)算 解 : 令 ,si n tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。 （ 2 ）???? ??00)( s in2)( s in dxxfdxxxf . 由此計(jì)算???02c os1s i ndxxxx. 證 （ 1） ? ?20 )( s in dxxf ? ?? 20 )]2[ s i n (? ?dxxf?? 20 )( co
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