類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)(參考版)
2024-09-05 08:12本頁面
【正文】 ( ) ( )。 0()。 δ函數(shù) 在原來電流為零的電路中 , 某一瞬時(shí) (設(shè)為 t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖 , 現(xiàn)在要確定電路上的電流 i(t). 以 q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù) , 則 ??????.0,1。(x)]=iwF(ω) )()]([de)(21e)(21de)(21)]([?w??wwwFixfixxfixfxxfxfxixixi????????????????????????FF0 ? 證 由傅氏變換的定義 , 并利用分部積分可得 ? 推論 ? F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 同樣 , 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 , 設(shè) F [f(x)]=F(w), 則 )]([)()(dd,) ] .([)(ddxfxiFxi x fFnnnnF有一般地F????wwww2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w??????? ?()()d( ) d ( ) ,dd( ( ) d ) [ ( ) ]dxxf x x f xxF f x x f xx???證 因 為=F[ ( ) ] ( )f x i Fww? ?F() ( ) dxi f x xw ????????F3 相似性定理 1[ ( ) ] ( 0 )f a x F aaaw????????F則令F axyxaxfaxf xi ?? ?????? de)(21)]([ w?證： )1de)(21de)(21)]([//aF(Fw??wwaxxfayyfaaxfaxiayi???????????????4. 延遲定理 )]([)]([ 00 xfexxf xi FF w???00000()1[ ( ) ] ( ) e d21( ) e d21e ( ) e d e [ ( ) ]2ixi u xi x i xiuf x x f x x xf u uf u u f xwwww w?????????????????? ???? ? ???????FF? 證 由傅氏變換的定義 , 可知 ? 令 xx0=u 5 位移定理 )()]([ 00 ?? Fxfe xiF)(de)(21de)(e21)]([e0)(000ww??ww?????????????????FxxfxxfxfxixixixiF證： 6 卷積定理 若 F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 則 ? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF1 2 1 2F [ ( ) * ( ) ] 2 ( ) ( )f x f x F F? w w?證 按傅氏變換的定義 , 有 的卷積和為其中)()()()(21)(*)(212121xfxfdxffxfxf ?????? ????()121 ( ) e ( ) e d2i i xf f x x dw ? w ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF122 ( ) ( )FF? w w??yx ???令()2 2 2( ) e d ( ( ) ) ( )iyf y y F f y Fw w?? ??? ???? 運(yùn)用傅氏變換的微分性質(zhì)以及積分性質(zhì) , 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 , 通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換 , 就可以得到此微分方程的解 . 另外 , 傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一 . ? 1 導(dǎo)數(shù)定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w????????例 求微分積分方程 )(d)()()( thttxctbxtxa t ???? ???????????????wwwwwwwcaibHXHXicbXXai)()()()()()(? 解 : 根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì) , ? F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). ? 在方程兩邊取傅氏變換 , 可得 的解 , 其中 ??t+?, a,b,c均為常數(shù) . x(t) = F 1 [ X(w) ], ww w deXtx xi????? )()(在物理和工程技術(shù)中 , 常常會碰到單位脈沖函數(shù) . 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) , 如在電學(xué)中 , 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流 。稱為其中)(ds i n)(2)(0xffB ??? ?w???w稱為傅立葉余弦積分分為為偶函數(shù)，則傅立葉積若 xdAxfxfc o s)()()(20???的傅立葉余弦變換。 *211( ) ( ) ( ) [ ] d2ixu U x t x e xww????? ?數(shù)學(xué)上可以將一個(gè)復(fù)雜的 非周期函數(shù) 做 傅里葉積分變換 ，相應(yīng)的在物理上，一個(gè)復(fù)雜 結(jié)構(gòu)的光學(xué)圖像 可以被分解成 一系列連續(xù)單頻信息的積分 傅立葉光學(xué) 若用一束復(fù)振幅為 U1的平行光照射這個(gè)光學(xué)圖像（衍射屏） .,)(.0,0,e0,0)(1一個(gè)函數(shù)是工程技術(shù)中常碰到的衰減函數(shù)叫做指數(shù)這個(gè)其中其積分表達(dá)式的傅氏變換及求函數(shù)例tftttft??????????t f(t) 解： 220)(021121de21dee21de)(21)]([)(w?w??w?????ww?w?w?????????????????????????iittttftfFtitittiF這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換 . .,.0,e)(22的一個(gè)函數(shù)也是工程技術(shù)中常碰到函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做鐘形脈沖其中表達(dá)式的傅氏變換及其積分求函數(shù)例?? ???AAtf t?w?w??ww?w??????w4242222e21dee21dee21de)(21)]([)(???????????????????????????????????AtAtAttftfFittittiF解：O t f(t) 因此有 ? 如果令 ?=1/2, 就有 ?w????422e21e??? AAt2222e21e w???? AAt可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù) 的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…) 是分離值 2
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