類型1形如的積分,其中r(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù)-在線瀏覽
2024-11-04 08:12本頁面
【正文】 lkkaflka f kllkkb f f kl l l l??????? ? ? ?? ? ? ??????? ? ?? ? ???????????10 )s i nc os()(kkk lxkblxkaaxf ??)(c os)(10 ?????kk lxkaaxf ?若 f(x)是偶函數(shù)，則 bk為 0，展開式為 叫做 傅里葉余弦級數(shù) , f ‘(0)=f ‘(l)=0 00011( ) d ( ) d212( ) c os d ( ) c os d ( 1 , 2 , )1( ) si n d 0 ( 1 , 2 , )llllllllkka f fllkka f f kl l l lkb f kll? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????? ? ? ?? ? ??????三 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開 ? f(x)定義在（ 0,l),可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù) g(x), 而在 (0,l)上， g(x)≡f(x).然后對g(x)作傅立葉級數(shù)展開，該級數(shù)的和在（ 0,l)上代表 f(x). ? 延拓的方式有無數(shù)種，因而展開式也有無數(shù)種，但他們在 (0,l)上均代表 f(x)。如要求 f(0)=f(l)=0 ，則應(yīng)延拓成 奇 周期函數(shù)， 如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ，則應(yīng)延拓成 偶 的周期函數(shù)。 ( ) [ ]kkTi x ikkk Tf x c e c f e dTw w ?????? ? ????? ?() kixkkf t c e w??? ? ?? ?得 1 ?1 3 T=4 f4(t) t sinc函數(shù)介紹 則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)用不嚴(yán)格的形式就寫作所以定義但是因?yàn)樘幨菬o定義的嚴(yán)格講函數(shù)在函數(shù)定義為,10s i n,1)0s i n c (1s i nlim,0s i n)s i n c (s i n c0???????xxxxxxxxxxsinc函數(shù)的圖形 : sinc(x) x π 2π 前面計(jì)算出 1s in c ( ) ( 0 , 1 , 2 , )22,2kkkkckkk k cTw??ww? ? ? ?? ? ?L可 將 以 豎 線 標(biāo) 在 頻 率 圖 上w 現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍 , 令 T=8, 以 f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為 8的周期函數(shù) f8(t) 4,4822,)8()(8?ww???wnnTntftfnn??????? ??????1 ?1 7 T=8 f8(t) t 則 ? ?),2,1,0()s i n c (41s i n4181118181)(81)(11144822??????????????????????????neeieidtedtetfdtetfTcnnniintintititiTnnnnnnTTnwwwwwwww則在 T=8時(shí) , 以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,482),2,1,0()s i n c (41??www??????? ?w 如果再將周期增加一倍 , 令 T=16, 可計(jì)算出 以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,8162),2,1,0()s i n c (81??www??????? ?w 一般地 , 對于周期 T ? ?22111()11111sin22sinc ( ) ( 0 , 1 , 2 , )TnTnn n nitnTiti t i innnnnc f t e dtTe dtTe e eT i T inTTwww w wwwwww????????? ? ???? ? ? ? ? ???K當(dāng)周期 T越來越大時(shí) , 各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來越小 , 而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是 sinc函數(shù)的形狀 , 因此 , 如果將方波函數(shù) f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù) , 則它也可以看作是由無窮多個(gè)無窮小的正弦波構(gòu)成 , 將那個(gè)頻率上的輪廓即 sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布 , 稱作 f(t)的傅里葉變換 . ? 167。 222222010( ) ( c os si n )1( ) d2( ) c os d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTk k k kkkkkkg x a a x b xagTa g kTb g kTww??? w ? ?? w ? ??????? ? ??????????LL1 ,k k k l?w w w?? ? ? ?2, kkkl T l? ? ?w w w? ? ? ?引入變量 22,kT??ww???則 對 g(x)展開式的三部分分別討論： T2T201 ( ) d 0l im l imTTagT???? ? ? ??? ?T2T2T2T2112[ ( ) c os d ] c os1[ ( ) c os d ] c osl iml imkkT kk k kT kgxTgx? w ? ? w? w ? ? w w?????? ???? ?? ? ?? ?? ?余 弦 部 分有限 22 ,kT ??ww?? ?2, 0 ,kkTT?w w w? ? ? ? ? 變 為 連 續(xù) 參 量 ， 記 為 ，求 和 變 成 積 分 ， 上 式 成 為01[ ( ) c o s d ] c o sg x d? w ? ? w w???????01[ ( ) s i n d ] s i ng x d? w ? ? w w???????同 理 ， 正 弦 部 分 為于是： 的傅立葉積分表達(dá)式，稱為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????的傅立葉變換式。稱為其中)(ds i n)(1)(dc o s)(1)(xffBfA???????????w???w?w???w若 f(x)在 (??, +?)上滿足條件 : 1, f(x)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件 。 收斂絕對可積是指的在 ? ???????? xxf d|)(|),(傅氏積分定理 討論： 稱為傅立葉正弦積分分為為奇函數(shù)，則傅立葉積若 xdBxfxfs i n)()()(10???的傅立葉正弦變換。稱為其中)(ds i n)(1)(dc o s)(1)(xffBfA???????????w???w?w???w稱為傅立葉余弦積分分為為偶函數(shù)，則傅立葉積若 xdAxfxfc o s)()()(20???的傅立葉余弦變換。 dc os)()()(0tAtftf????葉余弦積分是偶函數(shù)，可展為傅里解：?1 t f(t) 1 o h 00102( ) ( ) c os d2( ) c os d2 2 si nc os dAfhre c thhw ? w? ??? w? ??ww? ?? ? w
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