【正文】 讀他的研究成果時(shí)晚十五年。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì) ,傅里葉的論文從未公開(kāi)露面過(guò)。傅里葉很早就開(kāi)始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究， 1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了 任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù) 。 在 1759年拉格朗日 ()表示不可能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù) ,因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書， 1801年回國(guó)后任伊澤爾省地方長(zhǎng)官。 12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。 1768年 3月 21日生于歐塞爾， 1830年 5月 16日卒于巴黎。 類型三： m x d xxF c o s)(0?? ， mxxG s i n)(0?? 積分區(qū)間 ? ??,0 F (x ) 為 偶 函數(shù) ???m x dxxF c os)(0???????????? i mzi mxezFzfzfidxexF)()()()(21 在上半平面的留數(shù)之和? 同理： G ( x ) 為奇函數(shù) i m x dxexGim x dxxG ?????? ? )(21s i n)(0 ???????? i m zezGzfzf)()()( 在上半平面的留數(shù)之和? 類型四 ——實(shí)軸上有 單極點(diǎn) 函數(shù)的定積分： ??? ??????實(shí)軸上上半平面)(Re)(Re2)( zsfizsfidxxf ??第五章 傅里葉 (Fourier) 變換 ? 掌握 Fourier級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法 ? 掌握 Fourier積分與 Fourier變換方法 ? 了解 δ函數(shù)的基本性質(zhì) 第五章 傅里葉 (Fourier) 變換 167。類型 1. 形如 的積分 , 其中R(cosx,sinx)為 cosx與 sinx的 有理函數(shù) . 令 z=eix, 則dz=ieixdx=izdx ? π20 d)s i n,( co s xxxR???????????? ????1||1||2220d)(d21,21d)s i n,( c oszzzzfizzizzzzRxxxR?167。 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用 2 π { ( ) 1 }.i f z z?? 在 單 位 圓 內(nèi) 各 奇 點(diǎn) 留 數(shù) 之 和類型二： ?????dxxf )( 如果 )( zf 在上半平面有有限個(gè)奇點(diǎn)，則由留數(shù)定理： ??? ??? RCRRldzzfdxxfdzzf )()()( ? ?數(shù)之和內(nèi)上半平面內(nèi)各奇點(diǎn)留li?2? 條件： ? ?1f ? ?z在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn) ? ?2f ? ?z在上半平面上存在有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的 ? ?3當(dāng) z ?? 上半面和實(shí)軸 zf ? ?z一致地 0? 如果 f ( x) 是有理分式，上述條件意味著 分母沒(méi)有實(shí)的零點(diǎn) ， 且 分母的次數(shù)至少高于分子兩次 。 一 .周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi) ?傅立葉 ? 傅立葉 (公元 1768年～ 1830年 ),法國(guó)數(shù)學(xué)家、 物理學(xué)家。 9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。 17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)， 1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士， 1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下 ,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。這篇論文經(jīng) , , ，由于文中初始溫度展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表 ,在經(jīng)過(guò)了幾次其他的嘗試以后 ,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在 熱的分析理論 這本書中。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成 就。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足 一定的條件 ,例如分段單調(diào)）都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù) ,他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。 傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的最卓越的工具， 并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) —— ? “周期信號(hào) 都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和” —— 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) ? “ 非周期信號(hào) 都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示” —— 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 在工程計(jì)算中 , 無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué) , 經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期函數(shù) fT(t)打交道 . 例如 : ? 具有性質(zhì) fT(t+T)=fT(t), 其中 T稱作周期 , 而 1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù) , 單位時(shí)間通常取秒 , 即每秒重復(fù)多少次 , 單位是赫茲 (Herz, 或 Hz). t 最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù) fT(t)=Asin(wt+j) 其中 w=2?/T ? 而 Asin(wt+j)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù) ? sinwt和 coswt的線性組合 ? Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt t 人們發(fā)現(xiàn) , 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近 . 方波 4個(gè)正弦波的逼近 100個(gè)正弦波的逼近 ? 若函數(shù) f(x)以 2l為周期，即 f(x+2l)=f(x) ? 則可取三角函數(shù)族 , ...s i n, ...2s i n,s i n, ...c os, ...2c os,c os,1lxklxlxlxklxlx??????作為基本函數(shù)族，將 f(x)展為傅里葉級(jí)數(shù) ??????10 )()s i nc os()(kkk lxkblxkaaxf ??1 傅里葉級(jí)數(shù) ??????????????????llllllllllxlxnlxknkxlxnlxknkxlxnlxkxlxkkxlxk0dc oss i n),(0ds i ns i n),(0dc osc os0ds i n),0(0dc os????????三角函數(shù)族是兩兩正交的 利用上述正交性，可以求得級(jí)數(shù)展開(kāi)的各系數(shù)： ),2,1(ds i n)(1),2,1(dc o s)(1d)(210?????????????klkflbklkflaflallllllkk??????????稱為傅里葉系數(shù) ??????10 )s i nc os()(kkk lxkblxkaaxf ??. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近 , 而是要滿足狄里希利 (Dirichlet)條件 , 即在區(qū)間 [l,l]上 ? (1), 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) ? (2), 只有有限個(gè)極值點(diǎn) ? 則級(jí)數(shù)是收斂的，且 ? 級(jí)數(shù)和 ={ 2 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性 在間斷點(diǎn)））在連續(xù)點(diǎn))](0()0([21()(??? xfxfxxf第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的區(qū)別 : 第二類間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 左極限及右極限都存在 不滿足狄氏條件的例 : .0)1s i n ()(tg)(點(diǎn)處存在著無(wú)限多個(gè)極值在靠近存在第二類間斷點(diǎn)ttfttf??? 而在工程上所應(yīng)用的函數(shù) , 尤其是物理量的變化函數(shù) , 全部滿足狄氏條件 . 實(shí)際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的 , 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來(lái)近似一些函數(shù) , 使得思維簡(jiǎn)單一些 . 二 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi) )(s i n)(1????kk lxkbxf ?若 f(x)是奇函數(shù)，則 ak為 0 叫做傅里葉 正弦 級(jí)數(shù) ，f(0)=f(l)=0 001( ) d 021( ) c os d 0 ( 1 , 2 , )12( ) si n d ( ) si n d ( 1 , 2 , )llllll