不定積分ppt課件-資料下載頁
2025-01-14 05:05本頁面
【正文】 xe x c o s2注： 有些積分的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在 , 但 原函數(shù) 卻不能用初等函數(shù)表示出來 . 通常把被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表 示出來的積分稱為 “ 積不出來 ” 的 . 例如 ? ,d2 xe x ? ,ds in xx x ? ??? ),10(ds i n1 22 kxxk ? ,lnd xx這幾個例子已被劉維爾于 1835 年證明 . Liouville[法 ] (1809~1882) ? 例 1. 設(shè) a 0, 則 ??xxad122 ? ?= xaxa d)/(112)ad()/(112? ?= xax.a r c s i n Cax ?=例 2. 設(shè) a≠0, 則 ?? xxa d122 ? ?= xaxa d])/(1[122)d()/(1 11 2? ?= axaxa .ar c tan1 Caxa ?=例 3. ? ? xxe x d231 ? ?= ?? )3d ( 1231612 xe x? ??= ? )3d (161 231 2 xe x .61 231 Ce x ??= ? ? 例 4. ? xxx d1c os12 )1d(1c o s??=xx .1s i n Cx ??=例 5. ? xxx ds i nc o s ??= )d (s i n)(s i n 21 xx .s in2 Cx ?=例 6. ? xxx dln1 )lnd(ln1?= xx.lnln Cx ?=例 7. ? ? xee xxd1)d (11 1? ??= xx ee .)1ln( Ce x ??=例 8. ? ?? xxx xx dc oss i n s i nc os )c oss i nd(c oss i n 1? ??= xxxx.c o ss i nln Cxx ??=? 例 9. ?? xxx d122? ??= xx )d111( 2? ????= xxx ]d)1(2 1)1(2 11[Cxxx ?????= 1ln211ln21 .11ln21 Cxxx ????=例 10. ? ?? xxx d4512 ? ???= xxx )d1141(31 .14ln31 Cxx ???=例 11. ??? xxx d5412 ? ??= xx d1)2(12? ???= )2d(1)2( 1 2 xx= arctan(x+2)+C. ? 例 15. ? xx dc o s 3 ??= xxx )ds i n5(s i n21.c os215c os101 Cxx ???=例 16. ??? xxx dc os1c os1 ?= xxxd)2(c o s2)2(s i n222? ?= xx ]d1)2([s e c 2.)2tan (2 Cxx ??=? 例 22. 計算不定積分 .d)1(1??xxx n解 : (法一 ) 令 ,1ux =? ? xxx n d)1( 1 ? ??=?uuunnd11? ???= )1(d1 11 nn uunCun n ???= 1ln1.11ln1 Cxn n???=則 注 : 法一中 的代換稱為 倒數(shù)代換 . ? (法二 ) ? ? xxx n d)1( 1 ? ?=?xxxxnnnd)1(1? ?= )(d)1( 11 nnn xxxn? ??= )()d111(1 nnn xxxn.11ln1 Cxn n???=? 例 23. 計算 解 : 令 ,2tan xt = 則 ,1 2s i n 2ttx ?= ,11c os22ttx??=.d1 2d 2 ttx ?=.d)c os1(s i ns i n1??? xxxx? ?? xxx x d)c os1(s i n s i n1 ? ??= ttt )d12(21于是 Cttt ???= |)|ln221(21 2.2tanln212tan2tan41 2 Cxxx ???=注 :本例中的 代換方法稱為 半角代換 . ? 例 24. 計算 ? ? xbxa x 2222 c oss i n d ? ? xbxa x 2222 c oss i n d? ?= xbxa x dtans e c 2222? ?= 222 tan )tand( bxa x ? ?= 222 d bta tCbatab ?= )ar c tan (1 .)tanar c tan (1 Cxbaab ?=,2tan xt =則比較煩 . (其中 a, b 0). 解 : 令 t = tanx, 則 注⑥ : 本例若令 ? 例 (1) ? xe x d3 ?= xe x d)( 3 Cee x ?= 33ln )( .31 3 Ce x ?=? (2) xxbax d)(32? ? ????= xxbabxxa d)2( 31222?= xxa d352 ?? xxab d2 32 ? ?? xxb d312Cxbxabxa ??????=???311312321323513521121.235683 32235382 Cxbxabxa ???=(3) ???? xxxxx ds i n11c oss i nc os22? ?= xxx d)s e c( c o s 2.t a ns in Cxx ??=例 14 求 解 .2co s3co s? x d xx)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ???=),5co s( co s212co s3co s xxxx ?=?? ?= dxxxx d xx )5co s( co s212co s3co s.5si n101si n21 Cxx ??=例 13 求 解 （一） ?= dxxsin1.csc? xdx? x d xcsc ?= dxxx2c o s2s i n21? ????????????=22c o s2t a n12xdxx? ??????=2t a n2t a n1 xdxCx ?= 2t a nln .)c o tl n (c s c Cxx ??=（使用了三角函數(shù)恒等變形） 解 （二） ?= dxxsin1? x d xcsc ?= dxxx2s i ns i n? ??= )( co sco s1 1 2 xdxxu c o s=? ??= duu 21 1 ? ?????? ????= duuu 1 11 121Cuu ???= 11ln21 .co s1 co s1ln21 Cxx ???=解（三） ? x d xc sc ? ? ?= dxxx xxx c otcsc )c ot( c s ccscdxxx xxx? ? ????= c o tc s c c o tc s cc s c2? ???= )c ot( c s cc otc s c 1 xxdxxCxx ???= )c otl n( c s c Cxx ??= )c otl n( c s c類似地可推出 .)t a nl n( se cse c? ??= Cxxx d x? ?= dxxx dx c os1sec ? ??= )2()2s i n (1 ?? xdxCxx ????= )]2c ot ()2l n[ c s c ( ??Cxx ??= )t anl n( s e
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