【正文】 ln 22例 48 已知 的一個(gè)原函數(shù)為 ,求 )( xf x2ln ? ? dxxfx )(解 用分部積分公式可以處理這類題目 . ? ? dxxfx )( ? ???? dxxfxxfxx d f )()()(經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 cxxx ???? 22 ln)( l n cxx ??? 2lnln2?注 在不定積分運(yùn)算中 ,若被積函數(shù)含有 ,可以考慮 ?利用分部積分法 ,設(shè) )(xf?).( xfv ?例 49 計(jì)算不定積分 xd xe x s in?解 利用分部積分法， xvdxedux d xdveu xx c o s,.s i n, ?????xd xe x s in? dxxexexde xxx ?? ????? c o sc o s)c o s(xdexe xx s i nc os ????dxxexexe xxx ????? s i ns i nc o s經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 cxxexxe xx ???? ? )c o s( s i n21ds i n例 50 計(jì)算不定積分 dxxx? a r c s in解 首先作變量替換 ,去掉根號(hào) ,然后利用分部積分公式 . 設(shè) td tdxtxtx 2,2 ???dxxx? a r c s indtttttt d tt d tt t ??????????2112a r c s i n2a r c s i n22a r c s i ncxxxcttt ???????? 12a r c s i n212a r c s i n2 2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 51 計(jì)算不定積分 x dxI nn ?? c os設(shè) xd xdvxu n s i n,co s 1 ?? ?xvx d xxndu n s i n,s i nc o s)1( 2 ??? ?則 由分部積分公式， duvuvdvu ?? ??x dxI nn ?? c os dxxxnxx nn ? ??? ??? 221 s i nc o s)1(c o ss i ndxxxnxx nn ? ???? ??? )c o s1(c o s)1(c o ss i n 221dxxnx d xnxx nnn ? ?????? ??? c o s)1(c o s)1(c o ss i n 21由此解出 x dxI nn ?? c os ??? ??? x d xnnxxnnn 21 c o s1c o ss i n1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 即 21 1c o ss i n1?? ???nnn InnxxnI類似的，可以得到 x dxI nn ?? s in? ?? ???? x d xnnxxn nn 21 s i n1s i nc o s1特別的，當(dāng) 時(shí)， 2?ncxxxx d x ???? )s i n( c o s21c o s 2cxxxx d x ???? )s i nc o s(21s i n 2下面對(duì)分部積分法中 的選擇作個(gè)小結(jié)： dvu,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 練習(xí) : （ 1） （ 2） ?xdxx c os dxx? ? )1ln(（ 3） （ 4） x d xx s in2? ? x dxx a r c t a n 是函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù) ,求 xxsin )(xf .)(3 dxxfx ?? 一個(gè)原函數(shù)為 ,求 )(xf 2xe ??? .)( dxxfx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 四、有理函數(shù)的不定積分 前面已經(jīng)介紹了兩種基本積分法，對(duì)于一些有理函數(shù)的積分，如 xabx A d? ? xax d)(13? ? xxxxxx d142443232? ??? ??xxx d22 1 2? ??? ,其實(shí)我們完全可以第一換元積分法求 ?出結(jié)果 ,而對(duì)于 ， 這種有 ?理函數(shù)的不定積分只用上述方法是不夠的 . ? ?? ? dxxx x 65 32 ? ?? dxxx 6532? 下面介紹有理函數(shù)的積分以及可以化成有理函 ?數(shù)的積分 . 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 ?有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù) 即具 ?有如下形式的函數(shù) : mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP???????????????????11101110)()(?其中 和 都是非負(fù)整數(shù) 及 m n naaaa ?, 210mbbbb , 210 ??都是實(shí)數(shù) 并且 當(dāng) 時(shí)稱這有理函數(shù) ?是真分式 而當(dāng) 時(shí)，稱有理函數(shù)是假分式 0,0 00 ?? ba mn?mn ??對(duì)于一些簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的不定積分，我們?cè)囍玫? ?一換元積分法解出來 例 52 求不定積分 （ ） xabxA d?? 0, ?Ab經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 解 CabxbAxabx A ????? lnd例 53 求不定積分 xax d)( 1 3? ?解 Caxxax?????? 23 )(21d)(1例 54 求不定積分 （特點(diǎn)：分子 xxxxxx d142443232? ??? ??能湊成分母的導(dǎo)數(shù)） 解 xxxx xx d142 443 232? ??? ??經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 Cxxxxxxdxxx ???????????? ? 142ln)142(142 1 232323例 55 （特點(diǎn)：分母不能因式分解） xxx d22 1 2? ??解 xxx d22 1 2? ?? )1d()1(11d)1(1122 ??????? ?? xxxxCx ??? )1a r c t a n(?由上面例題可以看出，對(duì)于下面四種類型的不定積 ?分，可以由換元積分法求出其結(jié)果 . 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 xabx d1? ?（ 1） （ 2） （ ） xabx n d)( 1? ? 0,0 ?? nb)()(1 22 qpxxdqpxx n ?????（ 3） )()(1 1 2 qpxdqpx ????（ 4） （ ） 0?p對(duì)于更一般的有理分式，如何求不定積分？ 1 如果被積函數(shù)是假分式，即在分式 mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP???????????????????11101110)()(經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 ?中，有 首先對(duì)假分式進(jìn)行多項(xiàng)式除法，將假分 ?式表示成多項(xiàng)式與真分式的和 . mn ?分子分母 ，找到商和余式， 分母余式商分母分子假分式 ???例 56 計(jì)算不定積分 dxxxx???13解 分式 是假分式，首先要進(jìn)行多項(xiàng)式除法 . 13??xxx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 222221222233????????xxxxxxxxxxxxx???13xxx即 2 221xx x? ? ? ? ?則有 dxxxx???13? ????? dxxxx )122( 2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 Cxxxx ?????? 1ln222131 23?類似的，對(duì)于假分式，都可以先進(jìn)行多項(xiàng)式的除法， ?再求不定積分 . ?2 如果被積函數(shù)是真分式，盡可能對(duì)分母因式分解 . ?（ 1）分母 能分解成一次因式的乘積 .利用比較系 ?數(shù)法或賦值法 ,將有理分式拆成幾個(gè)有理分式的和 . )(xQ)())(()( 2211 kk bxabxabxaxQ ???? ?例 57 計(jì)算不定積分 ? ?? ? dxxx x 65 32經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 解 3 ( 2) ( 3 ) ( ) ( 2 3 )( 2) ( 3 ) 3 2 ( 2) ( 3 ) ( 2) ( 3 )x A B A x B x A B x A Bx x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?則有 )3()2(3 ????? xBxAx有兩種方法可以計(jì)算出 A,B. )3()2(3 ????? xBxAx賦值法： 在中 ， ?令 ，可得： ?令 ，可得： 3?x 6?A2x? 5??B比較系數(shù)法：在 中，比較 )32()(3 BAxBAx ??????經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 等式兩邊變量同次冪的系數(shù)，可得： 解出方程， A=6,B=5 ??? ?????3321BABA這樣 ,被積函數(shù)拆成了兩個(gè)分式的和 . )3)(2(3???xxx2536????? xx? ?? ? dxxx x 65 32? Cxxdxxx ?????????? ? 2ln53ln6)2536(我們可以總結(jié)出這樣的規(guī)律 ,對(duì)于有理分式 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP???????????????????11101110)()(如果分母 能分解成一次因式的乘積 , )(xQ)())(()( 2211 kk bxabxabxaxQ ???? ?kkkbxaAbxaAbxaA?????? ?222111?則 ,用賦值法或待 ?定系數(shù)法求出 ,則可以求出 的不 ?定積分 . kAAA , 21 ? dxxQxP?)()((2)分母 能分解成可重復(fù)的一次因式的乘積 . )(xQ經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 2222211 )()()()( kk bxabxabxaxQ ???? ?例 58 計(jì)算不定積分 ????? dxxxxxx2343331解 首先將分母因式分解 3234 )1(33 ????? xxxxxx再將有理分式拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的有理分式的和 . 32332343)1()1()1()1(1331??????????????xDxCxBxAxxxxxxxx323)1()1()1()1(????????xxDxxCxxBxxA比較系數(shù) , DxxCxxBxxAx ???????? )1()1()1(1 233經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 2,1,2,1 ????? DCBA可得 被積函數(shù) 可以拆成了四個(gè)分式的和 : xxxxx????234333132 )1(2)1(1)1(21???????xxxx? ??? ? dxxxxx x 2343331dxxxxx ))1( 2)1( 1)1( 21( 32? ????????cxxxx ????????? 2)1( 1111ln2ln我們可以總結(jié)出這樣的規(guī)律 ,對(duì)于有理分式 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP???????????????????11101110)()(如果分母 能分解成可重復(fù)的一次因式的乘積 , )(xQkbaxxQ )()( ?? ?)()(