【正文】 返回 結(jié)束 例 13. 求 例 14. 求 解 : ? ?? 22 3)2()2(d21xxICxx ???? 942ln21 2例 15. 求 解 : 原式 = ? ? 22 )()()(d21?x2521?x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 16. 求 解 : 原式 ? ????? xxee21d Ce x ??? ?a r c s in例 17. 已知 求 解 : 兩邊求導(dǎo) , 得 則 )1( xt ?令1( 1)??? (代回原變量 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxx d11)132??備用題 1. 求下列積分 : )1(d1131 33 ??? ? xxCx ??? 132 3xxxx d2132)22? ??? xxxd21 2? ??? 5)22( ??? x? ?? ???? 2221)21d(xxxx?? 52)1(2 ?? x)1d( ?x2212 xx ???? Cx ???21a rc s i n5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié) 由導(dǎo)數(shù)公式 vuvuuv ?????)(積分得 : xvuxvuuv dd ???? ??分部積分公式 xvuuvxvu dd ?? ????或 uvvuvu dd ?? ??1) v 容易求得 。 容易計(jì)算 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分部積分法 第 四 章 例 1. 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx dsinCxxx ??? c o ss i n思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 2. 求 .dln xxx?解 : 令 ,ln xu ? xv ??則 ,1xu ?? 221 xv ?原式 = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 3. 求 .da rc t a n xxx?解 : 令 ,a r c ta n xu ? xv ??則 ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ 原式 xx a r c t a n21 2? ? ?? xxx d121 22xx a rc t a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rc t a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 4. 求 .dsin xxe x?解 : 令 ,sin xu ? xev ?? , 則 ,c o s xu ?? xev ?∴ 原式 xe x sin? ?? xxe x dc o s再令 ,c o s xu ? xev ?? , 則 ,s in xu ??? xev ?xe x sin? ??? xxexe xx ds i nc o s故 原式 = Cxxe x ?? )c o s(s i n21說明 : 也可設(shè) 為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型 必須一致 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 4. 求 .dsin xxe x?解 : 令 ,sin xu ? xev ?? , 則 ,c o s xu ?? xev ?∴ 原式 xe x sin? ?? xxe x dc o s再令 ,c o s xv ?? xeu ? , 則 ,xeu ?? xv sin?xe x sin? )ds ins in( ??? xxexe xx故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd.dsin xxe x??? xxe x ds in解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?例 5. 求 解 : 令 ,a rc c o s xu ? 1??v , 則 ,21 1 xu ???? xv?原式 = xx a rc c o s ? ?? xxx d21xx a r c c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a r c c o s? Cx ??? 21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反 : 反三角函數(shù) 對(duì) : 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪 : 冪函數(shù) 指 : 指數(shù)函數(shù) 三 : 三角函數(shù) 例 6. 求 解 : 令 ,c o sln xu ? xv 2c o s1?? , 則 ,ta n xu ??? xv tan?原式 = xx c o slnta n ? ?? xx dt a n 2xx c o slnta n ?? ? ?? xx d)1(se c 2xx c o slnta n ?? Cxx ??? ta n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??????????uvuvvuxvuuvxvudddd例 7. 求 解 : 令 ,tx ? 則 ,2tx ? ttx d2d ?原式 tet t d2??tet(2?Cxe x ??? )1(2,tu ? tev ??)te? C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令 說明 : 分部積分題目的類型 : 1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 。 2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 。 (注意 : 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ) 例 4 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 8. 已知 的一個(gè)原函數(shù)是 求 解 : xxfx d)(?? )(d xfx??)( xfx? xxf d)(???x? ??x xcos Cx x ?? c o s??? xs in Cx x ?c o s2說明 : 此題若先求出 再求積分反而復(fù)雜 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??? xxfx d)( xx xx xx dc o s2sin2c o s 2 ??????? ???需要注意的問題 (1) 一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法 , (2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) , 要注意綜合 使用各種基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算 . 因此不一 定都能積出 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如 , ,)10(ds i n1 22 ???? kxx