【正文】 nlim 2233232233???????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxoxoxox3) 型 00析出 定型 洛 另解 21c o s)c o s1(1lim c o s)c o s1(c o s1lim ) 00 (c o ssinc o s1lim sinsinc o ssinlim sinsinta nlim 2233???????????????????xxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxox化簡 6. 61)x1(limxs inxlim61 ) 00 (xs in)x1(xlim61 xc o sxs in2)x2()x1(lim31 ) 00 (xs inx1(1lim xc o s31lim ) 00 (xc o sxs in3x111lim xs inxa rc s inxlim 232oxox232ox232ox221)2oxox22ox3ox21?????????????????????????????????????4) 型 00析出 定型 析出 定型 7. 5. 0sinc o sc o sc o ssinlim ) 00 (c o ssinsinlimc o ssinc o ssinc o slim ) 00 (sinsinc o slim)1sinc o s(lim )1( c o tlim ????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxoxox型 ???錯：原式 )1c sc(lim22 xxox ??? ?例 2 求下列函數的極限 解： 通分 洛 8.. )11ln 1(lim )1 1 ??? xxx )a r c ta n2(lim )2 xxx ???? ?2111ln1lim) 00 (1ln1lim 1)1(ln11lim) 00 (ln)1(ln1lim)11ln1(lim 11111????????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx型 ??? 不能直接用洛必達法則 122lim) (1lim 11lim) 00 ()a r c ta n2(lim)a r c ta n2(lim 22221???????????????????????????????? ??xxxxxxxxxxxxxxx 型 0 2) ??不能直接用洛必達法則 小結：對 型然后再用法則或型必須先化為型或 00 0 ??????例 3 函數 ) ( 1 2 的單調減少區(qū)間是xxy??1 x D. 1 x . C 1 xB. 1 x. ????A解： 1）求 及不可導點 0)( ?? xf 不存在的點無 1 0)1(1)1(2)1(1222222yxxxxxxxy??????????????9. 2) 列表（用求出的點劃分定義域） 0 0 )( ) ( 1 , 1 1) 1,( 1 1) , ( ???????????xfx 極小 極大 )(xf C 選?例 4 求函數 的單調區(qū)間及極值 1)( 2?? x xxf解： 1）求 及不可導點 0)( ?? xf 0)1()2()1(2)1(1)1(2)( 22222?????????????xxxxxxxxxxxf10. 1 0 2 321 ?????? xxx2) 列表（用求出的點劃分定義域 ) ,1()1 ,( ??????? ) 0 ) ( 0 , 0 ???)(xf 極大 極小 間斷 0 )()0 1,( 1 1), 2( 2 2) , ( ????????????xfx3）極值和單調區(qū)間 為單調減少區(qū)間和為單調增加區(qū)間和極小極大 )0 1,( )1 ,2( ) ( 0 , )2 ,(0)0( 4)2(???????????? ff11. 第四章 導數的應用（續(xù)） 1. 最大值與最小值應用問題的解題步驟： 1）建立函數關系式 )( xfy ?2）求駐點 ) 0)( ( 00 ?? xfx3）駐點 0x 唯一，且此函數存在最值 ,則 )( 0xf 就是所求的最值 2. 泰勒公式 1）一階 20220 )(!2 )())(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?2）二階 30 200000)(!3)()(!2)())(()()(xxfxxxfxxxfxfxf???????????? ??3） n 階 10)1 (00) ( 200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(????????????????nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf???12. ) ( 0 xx ?? ?3. 麥克勞林 (Maclaurin)公式 即是泰勒公式取 00 ?x的特例 ) 0 ()!1()(!)0(!2)0()0()0()( 112) () (xxnfxnfxfxffxf nnnn???????????? ??????[注 ] ? ?)( 0)( nxxRn ? 皮亞諾余項 4. 常用的麥可勞林公式（記?。? )](0[!!2!112 )1 nnx xnxxxe ?????? ??)](0[)1(32 132)1l n ( )2 nnn xnxxxxx ??????? ?? ?)](0[)!12()1(!5!3 212153sin )3 nxnxxxxnnx ???????????13. 5. 曲線的凹凸 1).凹 )( xfy ? 上每一點的切線都在該曲線的下方 ( 0)( ??? xf ) 2).凸 )( xfy ? 上每一點的切線都在該曲線的上方 ( 0)( ??? xf ) 6. 拐點 ))( ,(00 xfx ： 此點兩側 )(xf ?? 異號 7. 求曲線凹凸區(qū)間與拐點的步驟： 不存在的點及 )( 0)( xfxf ?????2）列表 1）求 3）寫出凹凸區(qū)間與拐點 14. )](0[)!2()1(!4!21 12242os )4 ???????? nnn xnxxxxc ?)](0[!)1()1( !2)1(1 2)1( )5nn xxnnxxx????????????????????r 二 . 例題分析 例 1. 要設計一容積為 V的圓柱形水池 ,已知底的單位面積的造價 是側面單位面積造價的一半 ,問水池底面半徑與高為何值時 , 使造價最省 ? 解 : 設底的單位面積造價是 a, 底半徑為 r, 當然此時側面的單位 面積造價就是 2a h V 1) 建立函數關系式 rvararvrararvhrharaahrarssss44422222222???????????????????????? 造價側價底價造價?15. 0)( 0)2 ?? rs 3221420)1(420322????v v rav ra ravrarrs????????即3233422,3????vvvh.v , )00r ????????? 相應的高為就是最小點所以值且實際問題中存在最小駐點唯一17. 當圓柱形半徑和高分別為 3 2?v 3 4?v和 造價最省 . 例 2. 在圓 ),1 022 yP ( xyx 0上找一點?? 使此點處圓的切線 截兩坐標軸在第一象限所圍成的面積最小 ? )( 00, yxPX 0 Y )( 0,AxA),(0 ByB 解： 1）建立函數關系式 先求出斜率 )(oxf?ooo,22yx)(xy yxy oy2y2x )( ,x )( 1 ????????????oyxyyyx這里求導對隱函數方程由17. )1,0()0,1( 1 1 0 )( )P ( x 00000000000000,002222yAYxAXxxyyyxxxxyyyxxyxy yy軸的交