【正文】 ds inar c? xx?? ?? )ar cs i n(dar cs i ndar cs i n xxxxxx解 ? ??? xxxx x d1a r c s i n 2.)1l n (21ar cta ndar cta n 2 Cxxxx x ?????類似地，有 .1ar cs i n2 Cxx x ????小結 ：下述幾種類型積分，均可用分 部 積分公式求解， 且 vu d, 的設法有規(guī)律可循 ． (1) ? xxaxn de， ? xaxxn ds in， ? xaxxn dc o s，可設nxu ?； ( 2) xxxndln? ， ? xxxnda r c s in ， ? xxxnda r c ta n ， 可設 xu ln? ， xa r c s in ， xa r c ta n ； (3) ? xbxax ds i ne ， ? xbxax dc o se ，可設 bxu s in? ， bxc o s . 說明 ：（ 1 ）常數也視為冪函數． （ 2 ）上述情況 nx 換成多項式時仍成立． 例 21 求 xx darctan? . 解 先換元，令2tx ? ? ?0?t , 則 ttx d2d ? ． 原式 = ? ??? ?? 2da r c ta nd2a r c ta n ttttt = tt a rc ta n2 ?? tt a r c ta nd2 tt a r c ta n2 tttd122? ? = tt a rc ta n2 ? ?????? ?? tt d1 11 2 = tt a r c ta n2 Ctt ??? a rc t a n C xxx ??? a r c ta n)1( . 例 22 求積分 ? ??? NndxxaI nn ,)( 22 1解 用分部積分法，當 時，有1?n? ?? ?? dxxaI nn 1221 1 )(? ????? ? dxxa xnxa x nn )()()( 222122 12? ??????? ?? dxxa axanxa x nnn ])()([)()( 222122122112))(()( nnnn IaInxa xI 211221 12 ????? ???])()([)( 11222 3212 1 ?? ????? nnn Inxa xnaI.,a r c t a n nICaxaI 即得以此作遞推公式，并由??11有理分式是指兩個多項式之比，即 ? ?? ?? ?xQxPxR ? ， 這里 )( xP 與 )( xQ 不可約．當 )( xQ 的次數高于 )( xP 的次 數時， )( xR 是真分式，否則 )( xR 為假分式 ． 利用多項式除法 ， 總可把假分式化為一多項式與真 分式之和 ， 例如 ,12 2125212 3 222 4 ?? ??????? ? xx xxxxx x 多項式部分可以逐項積分，因此以下只討論真分式的積 分法． 一般真分式的積分方法：（ 1 ）將分母 )( xQ 分解為 一次因式（可能有重因式）和二次質因式的乘積． （ 2 ）把該真 分 式按分母的因式，分解成若干簡單分式 （稱為部分分式）之和．（ 3 ）簡單分式的積分 . 三、簡單有理式的積分 化真分式為部分分式之和舉例說明： （ 1 ） 分母 )( xQ 含有單因式 ax ? 時，這時分解式中 對應有一項axA?，其中 A 為待定系數． 例如 )( xR =? ?? ? 21213223223????????????xCxBxAxxxxxxxx． 為確定系數 CBA , , 我們用 )2)(1( ?? xxx 乘等式兩邊， 得 )1()2()2)(1(32 ???????? xCxxBxxxAx , 因為這是一個恒等式，將任何 x 值帶入都相等 . 故可令 0?x , 得 A23 ?? , 即32A ?? ．類似地，令 1?x , 得 B35 ? ， 即 B = 35； 令 2??x , 得 C61 ?? ， 即 16C ?? . 于是得到 )( xR =? ?? ?2132???xxxx=26113523??????xxx. (2) 當分母 )( xQ 含有重因式 nax )( ? 時，這時部分分式 中相應有 n 個項： ? ? ? ? ax Aax Aax A nnnn ?????? ?? 111 .. .. . . 例如 ? ? ? ? 111121222232???????????xCxBxAxxxxxxx. 為確定系數 A ， B ， C ，將上式兩邊同乘以 ? ? 21?xx 得 ? ? ? ?111 22 ?????? xCxBxxAx , 令 0?x , 得 1?A ；再令 1?x , 得 2?B ；令 2?x , 得 CBA 225 ??? 代入已求得的 A ， B 值 ， 得 0C ? . 所以 ? ? 223212121??????xxxxxx . （ 3 ）當分母 )( xQ 中含有質因式 qpxx ??2，這時部 分分式中相應有一項qpxxBAx???2. 例如 ? ? ? ?32 2442 3 1 313x x A Bx Cx x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?. 為確定待定系數，等式兩邊同乘以 ? ?? ?31 2 ??? xxx ， 得 Ax ?? 4 ? ?32 ?? xx )1)(( ??? xCBx , 令 1?x 得， A55 ? , 即 1?A ；再令 0?x , 得 CA ?? 34 , 即1??C ；令 2?x , 得 CBA ??? 296 , 即 1??B ． 所以 311132423 ??????????xxxxxxx . （ 4 ）當分母 )( xQ 含有 nqpxx )( 2 ?? 因式時，這種情 況積分過于繁復，我們略去不討論了． 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面 三種形式 : ? ?? ?? ?? ? ? ?221d2d3 d 4 0 .nAxxaAxxaA x Bx p qx px q??????????；； 前兩種積分 ， 簡單湊微分法即可獲解 ， 下面舉例說 明 （ 3） 式的積分方法 ． 例 20 求積分 xxxxd42232????. 解 改 寫 被 積 分 函 數 分 子 為?? 23 x235)22( ??x , ( 注意 : 括號內 22 ?x 正好是分母的導數 . 22 ?x = ? ???? 422xx ) 于是 xxx x d42 232? ?? ? = ????????42d5d42222322 xxxxxxx = ? ? ? ??? ?????? ?? 312 d542 42d23 222xxxxxxx =23 42ln 2 ?? xx ? ? ? ?? ?? 22 31d5xx = 23 42ln 2 ?? xx Cx ??3 1ar c t an35 . 例 21 求2321 d2x xx x x???? . 解 由前面的情況（ 2 ）知， ? ? 223212121??????xxxxxx . 所以 xxxxxd21232? ???=? ?xxxxd112d12???? = Cxx ??? 12ln . 例 22 求 ? ?? xxx x d)1)(21( 22． 解 被積函數是真分式，分母中21 x? 為二次質因式， 所以 ? ?? ? ,121121 222xCBxxAxxx???????將等式兩邊同乘以 ? ?? ?2121 xx ?? ，得 ? ? ? ?? ? ,211 22 xCBxxAx ????? 分別令 ?x 21，得 A = 51； 0?x 得 CA ??0 ，即51???? AC 。 ()Fx? ? 一、不定積分的基本概念 二 基本公式 三 、 性質 第一節(jié) 不定積分的概念及性質 1． 原函數的概念 例 因為 1( l n )xx? ? ，故 ln x 是 1x的一個原函數； 因為 2( ) 2xx ? ? ，所以 2x 是 2 x 的一個原函數，又 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 2 x? ，所以 2 x 的原函 數不是惟一的． 原函數說明： 第一，原函數的存在問題：如果 ()fx 在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數一定存在 ( 將在下章加以說明 ) ． 定義 1 設 ()fx 是定義在某區(qū)間的已知函數，若存在函數 ()Fx ，使得 ( ) ( )F x f x? ? 或 d ( ) ( ) dF x f x x? , 則稱 ()Fx 為 ()fx 的一個原函數 ． 一、不定積分的概念 第二，原函數的一般表達式：前面已指出，若 ()fx 存在原函數，就不是惟一的，那么，這些原函數之間有 什么差異？能否寫成統一的表達式呢？對此，有如下結 論： 定理 若 ()Fx 是 ()fx 的一個原函數，則 ()F x C? 是 ()fx 的全部原函數，其中 C 為任意常數． 證 由于 ( ) ( )F x f x? ? ，又 [ ( ) ] ( ) ( )F x C F x f x??? ? ? ，所以函數族 ()F x C? 中的每一個都是 ()fx 的原函數． 另一方面 , 設 ()Gx 是 ()fx 的任一個原函數， 即 ( ) ( )G x f x? ? ，則可證 ()Fx 與 ()Gx 之間只相差一個常數 . 這樣就證明了 ()fx 的全體原函數剛好組成函數族 ()F x C? ． 所以 ( ) ( )F x G x C?? ，或者 ( ) ( )G x F x C?? ，這就是說 ()fx 的任一個原函數 ()Gx 均可表示成 ()F x C? 的形式． 事實上 , 因為 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x? ? ?? ? ? ? ? ? ， 2. 不定積分的概念 定義 2 函數 ()fx 的全體原函數 ()F x C? 叫做 ()fx 的不定積分，定積分，記為 ( ) d ( )f x x F x C??? ，其中 ( ) ( )F x f x? ? , 上式中的 x 叫做積分變量， ()fx 叫做被積函數， ( ) df x x 叫做被積表達式， C 叫做積分常數，“ ? ”叫做積分號． 例 1 求下列不定積分： （ 1 ）2 dxx? ； （ 2 ） s i n dxx? ； （ 3 ） 1 d xx?． 解 （ 1 ）因為 2331 xx ???????? ，所以 ? ?? Cxxx 32 31d . （ 2 ）因為 xx s in)c o s( ??? ，所以 Cxxx ???? c o sds i n . （ 3 ）因為 0?x 時， xx 1)( l n ?? ，又 0?x 時， xxx11])[ l n ( ?????? ，所以 Cxxx ??? ||lnd1 . 例 2 設曲線過點（ 1 ， 2 ）且斜率為 x2 ，求曲線方程