不定積分的概念與性質(zhì)42不定積分的換元積分法43不定-文庫(kù)吧資料
2025-07-24 00:00本頁(yè)面
【正文】 ( 6 ) s in d c o sx x x C? ? ??( 1 ) d k x k x C??? d( 3 ) ln | | .x xCx ???( 5 ) d .eexxxC???1( 2 ) d ( 1 ) .1xx x C?? ???? ? ? ???( 4 ) d .lnxx xCaaa ???前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 22d( 8 ) c s c d c o t .s inx x x x Cx ? ? ? ???( 1 0 ) se c t a n d se c .x x x x C???( 7 ) c o s d sin .x x x C???22d( 9 ) s e c d t a n .c o sx x x x Cx ? ? ???( 1 1 ) c sc c o t d c sc .x x x x C? ? ??21( 12 ) d ar c sin .1x x Cx????21( 1 3 ) d a r c t a n .1 x x Cx ????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 4 計(jì)算下列積分 .d1( 3 ) .d1( 2 ) .d)1( 23 xxxxx x???.43131134131CC xx ????? ?xxx x d d1( 2 ) 21?? ??解 xxx x d d( 1 ) 313 ?? ?xx xx dd1( 3 ) 22 ?? ??.22111 211 CxCx ????? ?.112 1 12 CxCx ??????? ??前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 5 計(jì)算下列積分 ( 1 ) 2 . ( ) . .21d (2 ) d (3 ) dx x xx x e x? ? ?解 (1) 22dl n 2xx xC???( 3 ) . deexxxC???1 1 1 1 1( ) d ( ) ( )12 2 l n 2 2ln2x x xx C C? ? ? ??? (2) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 不定積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分 號(hào)的前面 . ( ) d ( ) dk f x x k f x x??? ).0( ?kk 是常數(shù)，性質(zhì) 2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即 ?1212( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d .? ? ? ??? ? ? ??? ? ?nnx x x xx x x x x xf f ff f f性質(zhì) 2 兩個(gè)函數(shù)的和 (或差 )的不定積分等于各函數(shù) 不定積分的和 (或差 )，即 [ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d .f x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 6 求 3 25 4 3 ) d .(2 xxx x? ? ??32 2 d 5 d 4 d 3 dx x x x xxx? ? ? ?? ? ? ?3 232 5 4 3 ) d 2 d 5 d 4 d 3 d(2 xxx x x x xx xxx? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解 4 3 215 2 3 .23 xCx x x? ? ? ? ? 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意 常數(shù)．由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只 要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 7 求 xxx d)s i n23(? ?xxxxx xx ds i n2d d)s i n2 33( ??? ???解 2 ( c o s ) 2 c o s .ln 3 ln 333xxx C x C? ? ? ? ? ? ? ?例 8 求 2d.( 1 )xxx ??5 3122 2221( ) (? ? ????所 以 x x xxx xxd ) d5 3 122 2 22,( 1 ) ? ? ??x x x x x解 xxx xxx dd2d 212325 ? ?? ???.325472 232527 Cxxx ????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 9 求 2c os d2x x?? ?2 1 c o s 1c o s d d d c o s d2 2 2xxx x x x x?? ? ?? ? ? ?1 ( s in )2 x x C? ? ?解 .a r c t a n Cxx ???例 10 求 ? ? xxx d122?? ???? xx xx x d)11(1 d1 222解 xx d11d2? ? ???前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) .a r c t a n33Cxxx ????? ?????? ???? xxx d 11)1( 22?? ? ?????? xx x xxxx d1 1)1)(1(d12 22224解 xxxxd11 d)1( 22? ? ????.d1224? ?? xxx例 11 求 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) .dtan 2? xx.t a n Cxx ???例 12 求 ?? ?? xxxx )d1( se cdt an 22解 ? ??? xxx dds ec 2 有些積分在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的類型，但 經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù) 的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果．如例 9－ 12。 x因此所求曲線的方程為 2??xy前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) .d2c o s? xx求 第一類換元法 例 1 1dd2? ，xu 原因在于被積函數(shù) cos 2x與公式
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