微分與不定積分-文庫吧資料
2025-08-07 15:03本頁面
【正文】 四 . 跳躍函數(shù) 問題 4：能否找到一個結(jié)構(gòu)相對簡單 的函數(shù)，其間斷點與所給定 的單調(diào)函數(shù)相同？且對應(yīng)點 處的跳躍度也相同？找一個 在一點間斷的例子。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 證明：由于 f 在 [a,b] 上有限，故 ， 從而由單調(diào)性知 f 是 [a,b] 上的有界函數(shù)，由定理 1知 f 至多有可數(shù)個不連續(xù)點，其不連續(xù)點集顯然是零測集，由本章 167。 FF ?:?))0(),0((: ???? xfxfFx?}|))0(),0({()( FxFxfxfFF ?????1R?)(FF)(FF第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) (3) 記 ，對任意正整數(shù) N，不妨設(shè) ，取 ， 則 ， 因此 ， ??? 1}{ kkxFNxxx ??? ?21?,2,1),(, 10 ??? ? kxxyay kkk)()0()0()( 1 kkkk yfxfxfyf ??????)0()0()()( 1 ????? ? kkkk xfxfyfyf第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 進(jìn)而 ]()([)]0()0([ 111???????? ?? kkNkkkNkyfyfxfxf)()()()( 0 afbfyfyf N ??????N)()()]0()0([1afbfxfxf kkk????????令 立得 證畢。記 F 為 中開區(qū)間全體所成的類。 )1(lim 0 nxfan????0???N ?????? aNxf )1(0 0)1,( 00?Nxxx ?? axf ?)(??????? aNxfaxf )1()(000axfxx ??? )(lim 00axf ?? )0( 0類似 可證 也存在，故 f 的不連續(xù)點必是第一類不連續(xù)點。事實上，由于 ，故存在 N，當(dāng) 時， ，由單調(diào)性得 且 是單調(diào)下降的序列，故 存在，且 。 )0( 0 ?xf0x)(),0( 00 xfxf ? 0x定 理 1 設(shè) f 是 [a, b] 上的單調(diào)遞增函數(shù)，則 f 具有下列性質(zhì)： (1) f 的不連續(xù)點全是第一類的； (2) f 的不連續(xù)點集至多可數(shù)； (3) f 在不連續(xù)點的左、右方跳躍度都是非負(fù)的，并且所有跳躍度的總和不超過 。 21 xx ? )()( 21 xfxf ?)()( 21 xfxf ?第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 問題 2：單調(diào)函數(shù)的間斷點哪些類 型？間斷點有多少？ 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 若 f 是 E 上的有限函數(shù)， 在 點的右極限 存在，則稱 為 f 在 點的 右方跳躍度 ，若 f 在 點的左極限 存在，則稱 為 f 在 點的 左方跳躍度 。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) Exx ?21 ,21 xx ? )()(21 xfxf ?)()( 21 xfxf ?第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 如果當(dāng) 時，不等式 恒成立， 則稱 f 是 E 上的 單調(diào)遞減函數(shù) 。 ??????
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