微分與不定積分-展示頁
2025-08-10 15:03本頁面
【正文】 ??0 00c os)( 22xxxxxf?)(xf )(xf ?二 . 單調(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義 1 設(shè) f 是定義在實(shí)直線 R1 中點(diǎn)集 E 上的有限函數(shù)，如果對(duì)任意， 當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成 立， 就稱 f 是 E 上的 單調(diào)增加函數(shù) 。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) )(xf ?? ??],[)()(~xadttfxF)(xf)(xf第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 例如 ， 若 則 在 [0,1]上處處有導(dǎo)數(shù) ， 然而 在 [0,1]上卻是不可積的 (參見江澤堅(jiān) 、 吳智泉合編 《 實(shí)變函數(shù)論 》 第二版 ， 高教出版社 1998)。 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 基本內(nèi)容 ： 一 ． 問題的提出 問題 1： NewtonLeibniz公式告訴我們 什么 ？ 它的重要性表現(xiàn)在什么 地方 ？ 對(duì)于 Lebesgue積分而言 ， 能否建立類似的結(jié)論 ？ 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 牛頓 萊布尼茲公式告訴我們，如果 是 [a, b] 上的連續(xù)函數(shù)，則 是 的一個(gè)原函數(shù)，即 。第四節(jié) 微分與不定積分 目的 ：熟練掌握單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) ， 熟悉單調(diào)函數(shù)的基本性質(zhì)以及跳躍度 、 跳躍函數(shù)等重要概念 。 重點(diǎn)與難點(diǎn) ：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) )(xf?? xa dttfxF )()()(tf)()( xfxF ??第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 假如我們將 Riemann積分換成 Lebesgue積分 ， 類似的結(jié)論是否仍成立 ？ 具體地說 ， 若 是 [a,b]上的 Lebesgue可積函數(shù) ， 則 在 [a,b]上是否可導(dǎo)？如果可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是否等于 ？ )(xf??],[)()(xadttfxF)(xf另一方面， 如果 是 [a, b] 上的可導(dǎo)函數(shù)，則 在 [a, b] 上是否可積？如果可積，則 是否等于 ？不難看到，無論是對(duì)Riemann積分還是對(duì) Lebesgue積分而言，一個(gè)函數(shù)即使處處有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)未必是可積的。 那么 ， 什么樣的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是可積的呢 ？ 這正是我們關(guān)心的問題 。 如果 恒成立，則稱 f 為 E 上的 嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù) 。若不等式 恒成立，則稱 f 為 E上的 嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù) 。 fEx ,0 ?)0( 0 ?xf)()0( 00 xfxf ??)0( 0 ?xf)0()( 00 ?? xfxf0x0x0x0x第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 若 f 在 的左、右極限都存在，但其左、右方跳躍度不全為 0 (即 不全相等 )，則稱 為 f 的 第一類不連續(xù)點(diǎn) ，若 f 的不連續(xù)點(diǎn)不是第一類的，則稱為 第二類不連續(xù)點(diǎn) 。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) )()( afbf ?證 明 ： (1) 首先證明，對(duì)任意 存在。 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) ),[0 bax ?)0( 0 ?xf bxa ??0Nn? ),[10 banx ??)()1( 00 xfnxf ?? ??? 10 )}1({ nnxf)1(lim 0 nxfn???)()1(lim 00 xfnxfn????第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 記 ， 則對(duì)任意 ， 存在 ， 使得 ， 對(duì)任意 ， 顯然有 ，
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