【正文】 abacbbabcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()( , 四、定積分的性質(zhì) .d)(d)(d)(? ? ???ba ca bc xxfxxfxxf仍有 性質(zhì) 4 （積分的比較性質(zhì)） 在 ? ?,ab 上若 )( xf ≥g ( x ) ，則 ?baxxf d)( ≥ ?baxxg d)( . 性質(zhì) 5 （積分估值性質(zhì)） 設(shè) M 與 m 分別是 )( xf 在? ?,ab 上的最大值與最小值，則 ()m b a? ≤ ?baxxf d)( ≤ )( abM ? . 證 因?yàn)? m ≤ )( xf ≤ M （題設(shè)）， 由性質(zhì) 4 得?baxm d ≤ ?baxxf d)( ≤ ?baxM d ，再將常數(shù)因子提出，并利用 abxba??? d ， 即可得證 . 性質(zhì) 6 （積分中值定理） 如果 )( xf 在 ? ?ba , 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) ? ?ba ,?? ，使得 ? ??baabfxxf ))((d)( ? . 證 將性質(zhì) 5 中不等式除以 ab ? ，得 m ≤ ??baxxfabd)(1≤ M . 設(shè) ? ??baxxfab?d)(1, 即 mM ??? . 由于 )( xf 為 ? ?ba ,區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) , 所以 , 它能取到介于其最小值與最大值之間的任何一個(gè)數(shù)值（這就是連續(xù)函數(shù)的介值定理） .因 此在 ? ?ba , 上至少有一點(diǎn) ? ，使得 ?? ?)(f ，即 ,)(d)(1 ? ?? ba fxxfab ?.))((d)(? ??ba abfxxf ?中值定理的幾何意義：曲邊 )( xfy ? 在 ? ?ba , 底上所圍成的曲邊梯形面積，等于同一底邊而高為 )( ?f 的一個(gè)矩形面積，如下圖所示 . O a b x y ? ) ( ? f ) ( x f y ? 從幾何角度容易看出，數(shù)值 ???baxxfabd)(1? 表示連續(xù)曲線 )( xfy ? 在 ? ?ba , 上的平均高度，也就是函數(shù))( xf 在 ? ?ba , 上的平均值，這是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的拓廣 . 例 估計(jì)定積分 xx de1 1 2? ? ? 的值 . 解 先求 2e)(xxf?? 在 [ 1 , 1 ] 上的最大值和最小值 . 因?yàn)?e2)(xxxf???? , 令 0)( ?? xf ，得駐點(diǎn) x = 0 ，比較 )( xf 在駐點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ,1e)0(0??f e1e)1()1(1?????ff , 故最大值 1M ? , 最小值 m = e1 . 由估值性質(zhì)得，e2≤ xxde112??? ≤ 2 . 思考題 1 . 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推證下列積分的值： (1) ??11d xx 。 ( 2 ) 取近似 把每小段 [ iitt ,1?] 上的運(yùn)動(dòng)視為勻速，任取時(shí)刻 ? ?iiitt ,1??? ，作乘積iitv ?)( ? ，顯然這小段時(shí)間所走路程 is? 可近似表示為 iitv ?)( ? （ ni ,2,1 ?? ） 。 (3) 求和 把 n 個(gè)小矩形面積相加 ( 即階梯形面積 )就得到曲邊梯形面積 A 的近似值 iniinnxfxfxfxf ??????????)()()()(12211???? ? 。 1?x , 得 ?? A21 )(3 CB ? , 求得 52?B ． 所以 ? ?? ? 222151522151121 xxxxxx???????. 于是 ? ?? ????xxxxd12122 = xxxxxd1125121d512?????? =? ? ? ???? ????????2221d5111d512121d2151xxxxxx = Cxxx ????? a r c t a n511ln5121ln101 2. 說(shuō)明 ：（ 1 ）有些不定積分，如2 ede d , d , ,lnxx xxxxx?? ? ? 4d1xx?? 等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函 數(shù)表達(dá)所求的原函數(shù)，這時(shí)稱 “ 積不出” . （ 2 ）在工程技術(shù)問(wèn)題中，我們還可以借助查積分表來(lái)求一些較復(fù)雜的不定積分，也可以利用數(shù)學(xué)軟件包在計(jì)算機(jī)上求原函數(shù)． 思考題 1. 第一換元法 （ 即湊微分法 ） 與第二換元法的區(qū)別是 什么 ？ 2. 應(yīng)用分部積分公式 ?? ?? uvuvvu dd 的關(guān)鍵是什么？ 對(duì)于積分 ? ,d)()( xxgxf 一般應(yīng)按什么樣的規(guī)律去設(shè) u 和 vd ？ 一、 定積分的實(shí)際背景 二、 定積分的概念 三、 定積分的幾何意義 四、 定積分的性質(zhì) 定積分的概念 定積分的概念 1. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形 :若圖形的三條邊是直線段 ， 其中有兩條垂直 于第三條底邊 ， 而其第四條邊是曲線 ， 這樣的圖形稱為曲 邊梯形 ， 如左下圖所示 . y O M P Q N B x C A A 推廣為 一、定積分的實(shí)際背景 曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著 y軸方向切割成許多窄窄的長(zhǎng)條，把每個(gè)長(zhǎng)條近似看作一個(gè)矩形，用長(zhǎng)乘寬求得小矩形面積，加起來(lái)就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細(xì)，誤差越小，于是當(dāng)所有的長(zhǎng)條寬度趨于零時(shí)，這個(gè)階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了 .如下圖所示： 0 x 1 x 2 x x n O x y y = f (x) 0 x = a x n =b 曲邊梯形面積的確定步驟： ( 1 ) 分割 任取分點(diǎn) bxxxxxann???????? 1210? ,把底邊 [ a , b ] 分成 n 個(gè)小區(qū)間 [1x , 2x ]( ),2,1 ni ?? . 小區(qū)間長(zhǎng)度記為 )。 CxFdxxf ??? )()()x(f)x(F ??3. 不定積分的幾何意義 若 y = F (x) 是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)， 則稱 y = F (x) 的圖形是 f (x) 的 積分曲線 . 因?yàn)椴欢ǚe分 CxFxxf ??? )(d)(是 f (x) 的原函數(shù)的一般表達(dá)式， 所以它對(duì)應(yīng)的圖形是 一族積分曲線 ， 稱它為積分曲線族 . 積分曲線族 y = F (x) + C 的特點(diǎn)是 ： 當(dāng) C 0 時(shí)，向上移動(dòng)； (1)積分曲線族中任意一條曲線， 可由其中某一條 (例如 ， 曲線 y = F(x) ) 沿 y 軸平行移動(dòng) |C|單位而得到 . 當(dāng) C 0 時(shí)，向下移動(dòng)； (2)由于 [F (x) + C]? = F ? (x) = f (x)， 即橫坐標(biāo)相同點(diǎn) x 處 ， 每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等 ， 都等于 f (x)， 從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行 (如圖 )． x y O y = f (x) y = F (x)+C 積分曲線族 y = F (x) + C 由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以相應(yīng)地得出下列積分公式： (1) ? ?? Ckxxk d ( k 為常數(shù) ) ， (2) Cxxx ???? ? 111d ???（ 1??? ） ， (3) Cxxx ??? lnd1 ， (4) e d exxxC??? ， (5) ? ?? Caaxaxxlnd ， (6) ? ?? Cxxx s i ndc o s ， (7) ? ??? Cxxx c o sds in ， 二、 基本積分公式 (8) ? ? ??? Cxxxxx ta nds e cdc o s1 22 ， (9) ? ? ???? Cxxxxx c o tdc s cds i n 1 22 ， (10) ? ?? Cxxxx s e cdt a ns e c ， (11) ? ??? Cxxxx c s cdc o tc s c ， (12) Cxxx ???? a r c ta nd1 1 2 ， （ 13 ） Cxxx ???? ar c s i nd1 1 2 . 性質(zhì) 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號(hào)外 ， 即 ? ?? xxfkxxkf d)(d)( （ 0?k ） . 性質(zhì) 2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和 ， 即 ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()( . 三、 不定積分的性質(zhì) 例 3 求下列不定積分 : （１） ? ?? ?????? ?? xxxx d11 ； （２） ? ?? xxx d1122． 解 （ 1 ） ? ?? ? ?????????????????? xxxxxxxxx d11d11 ? ??? ????? xxxxxxxx d1d1dd.22152 21225Cxxxx ?????（２） ? ? ? ??????????????? xxxxxxxx d121d121d1122222 .ar c t an21d2d 2 Cxxx xx ?????? ?? 例 4 求下列不定積分： (1) ? xx dta n 2 ； (2) ? xx d2s in 2 ． 解 (1) ?? xx dt an 2 xx d)1( s e c 2 ?? = .t andds e c 2 ?? ???? Cxxxxx 2 1 c ossi n d d2211si n .22xxxxx x C??? ? ??? (2) dxxx?22c o ss i n1]3[dxxxxx? ??2222c oss i nc oss i n ???? dxxdxx 22 s i n1c os1cxx ???? t a nc o t例 5 求 其中,d)(? xxf f (x)= x2+1, x0. 1 ,1 ?xx10 ,1 ?? x解 : 作函數(shù)，待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxf???????F(x)= 0 ,33?? xxx1 ln 2 ?? xCx10 1 ??? xCx而要使 F(x)成為 f (x)在 R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而 C1＝ 0， C2＝ 1，因此滿足條件的函數(shù)為 F(x)= 0 ,33?? xxx.1 1ln ?? xx10 , ?? xx