【文章內容簡介】 程，具有獨立增量性（但不具有平穩(wěn)性）。對于盈余過程 ? ?? ?。0R t t? ,任 意給定 0,r? 0 st??,有 ? ? ? ?21e x p ,iii B t g r t???????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?e x p e x p e x pE r R t E r R t R s r R s??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?e x p e x pE r R t R s E r R s??? ? ? ??????? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?2 1e x p e x p ,iiiE r R t R s B s g r s?????? ? ? ???? ??? 故 ? ? ? ?? ?? ?e x pE r R t R s?????? ? ? ? ? ? ? ? ?21e x p , ,i i i ii B t g r t B s g r s?????????????? (32) 令 ( )。 0 ,RRtFt=?F 其中 1 2 1 2M M N NRt t t t t= 譖 ?F F F F F 定理 ( ) ( )R t ER t 是 RF 鞅。 證 對于任意 st163。 ,由過程 ( ){ }。0R t t179。 具有獨立增量性 ,有 ( ) ( ) RsE R t ER t輊輊 犏臌臌 F ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }RsE R t R s E R t R s R s E R s輊= + 犏臌 F 一類雙 險種復合非齊次 Poisson 風險過程的破產概率 第 14 頁 共 23 頁 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )R s E R s E R t R s E R t R s輊= + 犏臌 ( ) ( )R s ER s= 證畢。 定理 令 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2e xpe xp , ,ur u R tMtB t g r t B t g r t輊+犏臌=+ 則 ()uMt是 RF 鞅。 證 對于任意 st163。 ,由獨立增量性及 (32)式 ,得 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2e xpe xp , ,RRu s sr u R tE M t EB t g r t B t g r t輊 輊+犏犏 臌輊 =犏犏臌 輊 +犏 臌臌FF ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 21e xp e xpe xp , , e xp , ,Rsi i i iir u R s r R t R sE B s g r s B s g r sB t g r t B s g r s=禳 輊镲镲 犏镲 輊輊镲 犏 + 犏犏镲鐙 犏= 睚犏 輊禳镲 + 镲镲镲 臌犏 輊镲 睚 臌犏镲 镲镲 镲鉿臌镲鉿 229。g F( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )21e xpe xp , ,ui i i iir R t R sM s EB t g r t B s g r s=輊犏輊犏 犏臌犏= 犏 禳镲镲犏 輊 睚臌犏 镲镲鉿臌 229。 ( )uMs= 證畢。 定理 對于任意的 t ,有 ( ) ( ) ( )20 1, s u p e x p ,ru iist iu t e B s g r sy＃ =輊犏163。 犏臌229。 (33) 式中 r 滿足 ( ) ( )0 , 1 , 2kr h r k ?。 證 由對函數 ()khr性質的假設知存在 0r ,使得 ( ) ( )1, 2kh r k? 。故由 (32)知 , ( ) ( )( ){ }e x pE r R t R s輊 ?犏臌 .又由定理 知 ()uMt是 RF 鞅 .選取 t? ,則 utT217。 是一個有界 RF 停時。由定理 得 ( ) ( ) ( ) ( )0ru u u u u u u ue M E M t T E M T T t P T t 輊輊== 儷＃臌臌 一類雙 險種復合非齊次 Poisson 風險過程的破產概率 第 15 頁 共 23 頁 由于當 uT? 時 ( ) 0uu R T+?,故 ( ) ( )( ), ruu u u ueu t P T t E M T T ty = ＃ 輊 163。臌 ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iist ie B s g r s ＃ =禳镲镲163。 睚镲镲鉿 229。 證畢。 依據有限時間破產概率的上界估計式 ,保險公司可以根據 以往的歷史資料 ,選擇制定適當的險種和合理的保費 ,預留必要的初始準備金 ,以使得有限時間破產概率 (比最終破產概率更接近實際的每一時期的破產概率 )達到預想小的程度。推論 若兩個險種的個體索賠額分別服從均值為 1m 、 2m 的指數分布 ,則 ( ) ( ) ( ) ( )( )20 1, su p e x p 1 1i irc sru iist i iru t e B s v s ermym ＃ =禳 輊镲镲镲 犏?+睚 犏镲 犏镲 臌镲鉿 229。 式中 r 滿足12110 m in ,r mm禳镲镲 睚镲镲鉿。 證 當 11r m 時 , ( ) 1 110 111 1 1xrx rh r e e d x rm mmm165。= = 242。 。 當 11r m179。 時 , ( )1hr=? 。 同理 ,當21r m 時 , ( ) 2221rhr rmm= 。當21r m179。 時 , ( )2hr=? 故 ( ) ( ) ( ) ( )( )20 1, su p e x p 1 1i irc sru iist i iru t e B s v s ermym ＃ =禳 輊镲镲镲 犏?+睚 犏镲 犏镲 臌镲鉿 229。 式中 r 滿足12110 m in ,r mm禳镲镲 睚镲镲鉿。 最終破產概率的一個上界 在 (33)式中令 t ,取極限得 ( ) ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iit iu e B t g r ty179。 =禳镲镲163。 睚镲镲鉿 229。 (34) 令 ( ) ( ) ( )20 1s u p e x p ,iit iD r B t g r t179。 =輊犏= 犏臌229。 (35) 一類雙 險種復合非齊次 Poisson 風險過程的破產概率 第 16 頁 共 23 頁 在 (34)中 ,我們在限制 ( )Dr? 下尋找盡可能大的 r ,以得到最終破產概率()uy 的一個較好的上界估計。 定義 令 ( ){ }supR r D r= ?, 其中 ()Dr由 (35)給出 ,稱 R 為盈余過程 (31)的 Lundberg 指數。 ()Dr表達式中各個量均可由保險公司以往的歷史資料得出 ,故此 R 是可以確定出來的。 因此最終破產概率 ( ) ( )Ruu e D Ry 163。 下面由模型中雙險種與對應的單險種之間的關系 ,推導它們的 Lundberg 指數之間的關系。 定理 令 ( ){ }su p , 0 , 0iiR r g r t t對 于 所 有= ３, ( )12i= 則 { }12min ,R R R179。 證 不難看出 ,模型 (1)中第一個險種對應的盈余過程為 ( ) ( )( ) ( ) ( )11111 111NtiiR t M t Xvtrm =+= 229。 且最終破產概率 ( ) ( ) ( )11 ,1 0su p B t g r tru tu e ey 179。163。 由 ()1Bt函數的性質知 ,相應于第一個險種的 Lundberg 指數 ( ){ }11su p , 0 , 0tR r g r t t對 于 任 意 給 定 的= ３ ? ?11m in , 0tR R t??對 所 有 同理相應于第二個險種的 Lundberg 指數 ( ){ }22su p , 0 , 0tR r g r t t對 于 任 意 給 定 的= ３ ? ?22m in , 0tR R t??對 所 有 一類雙 險種復合非齊次 Poisson 風險過程的破產概率 第 17 頁 共 23 頁 顯然 ： ( )0, 0igt= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00, ir c ti r i i i rg r t v t c t e h rr ==182。 輊 162。= +犏臌182。 ( )10i i i i ir m m r m= + + = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 0ir c ti i i ig r t v t c t e h rr 182。 ⅱ= + 182。 , 這說明 itR 恰好就是方程 ( ),0ig r t = (對于任意給定的 t )的正解。 不妨假設 12RR 當 10 rR? 時 , ( ) ( )12, 0 , , 0g r t g r t? 因 ()iBt均為連續(xù)非減函數，且當 t?? 時， ( ) ( 1, 2)iB t i? ? ? ，故 ( ) ( )20 1s u p e x p , 1iit i B t g r t179。 =禳镲镲 =睚镲镲鉿 229。 即 ( ) 1Dr= ，因此 1RR179。 。 證畢。 由定理 知道，雙險種的非齊次 Poisson 風險模型的調節(jié)系數大于相應單險種的調節(jié)系數的最小值的 ,這與保險公司實際經營的情況是 相符的 ,并且這個結果可以類似推廣到 n 個險種的情形。對于經營 n 個險種的保險公司 ,整個公司的償付能力與 n 個險種都有關系 ,險種在經營過程中是相互“分散 ” 風險的 ,整個公司的安全性自然也就不會低于只經營某個單險種的安全性。通常 ,保險公司在實際的經營中并不是每個險種都是盈利的 ,對于虧損或利潤低的險種 ,保險公司為了長遠的計劃或穩(wěn)住長期的客戶不能立即把它排除市場 ,而是靠著其 他盈利的險種求得暫時的生存 ,通過改變策略或險種的更新再尋找盈利的機會。 一類雙 險種復合非齊次 Poisson 風險過程的破產概率 第 18 頁 共 23 頁 4 結論 由于古典風險模型不能很好地反映保險公司的經營實際 ,所以本論文對古典風險模型加以推廣 ,建立了一類雙險種風險模型 .模型中保費收入由單位時間常數速率到達推廣為兩個險種的保單到達計數過程均為非齊次 Poisson過程 ,索賠到達計數過程由齊次 Poisson過程亦推廣到均為非齊次 Poisson過程 .由于非齊次Poisson過程的強度依賴于時間 t,過程不再具有平穩(wěn)增量性 ,所以增加了研究的難度 .本文用鞅方法得到風險模型有限 時間破產概率