一類具有雙線性發(fā)生率的傳染病模型-sir傳染病畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 02:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 年提出了SIS模型，在分析模型的基礎(chǔ)上提出了區(qū)分疾病流行與否的“閥值理論”，作為標(biāo)志性的著作是Bailey于1957年出版的專著《數(shù)理流行病學(xué)》.，也有部分是針對(duì)諸如麻疹、瘧疾、肺結(jié)核、天花等諸多具體疾病的模型.在傳染病動(dòng)力學(xué)中，長(zhǎng)期以來(lái)主要使用的數(shù)學(xué)模型是所謂的“倉(cāng)室”(partment)模型，它的基本思想是由Kermack與McKendriok創(chuàng)立于1927年，但一直到現(xiàn)在仍然被廣泛的使用和不斷的發(fā)展著，由于歷代科學(xué)家的不斷努力，這種思想現(xiàn)在越來(lái)越完善. SIR倉(cāng)室模型 下面簡(jiǎn)要介紹SIR倉(cāng)室模型：SIR倉(cāng)室模型就是針對(duì)某類傳染病將該地區(qū)的人群分成以下三類（即三個(gè)倉(cāng)室）：(1) 易感者(susceptibles)類 其數(shù)量記為，表示在時(shí)刻為染病但可能被該類疾病傳染的人數(shù). (2) 染病者(infectives)類 其數(shù)量記為，表示在時(shí)刻已被感染成病人而且具有傳染力的人數(shù). (3) 移出者(removed)類 其數(shù)量記為，表示在時(shí)刻已從感染者類移出的人數(shù).Kermack—McKendrick模型基于下面三種假設(shè)： 1) 設(shè)總?cè)丝跒? 則有. 不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素，這意味著考慮一個(gè)封閉的環(huán)境且假定疾病隨時(shí)間的變化要比出生、死亡隨時(shí)問(wèn)變化明顯很多，從而后者可以忽略不計(jì)，這樣，這個(gè)環(huán)境的總?cè)丝诰褪冀K保持一個(gè)常數(shù)： ，KM的SIR模型是一個(gè)十分簡(jiǎn)單粗糙的模型.2) 一個(gè)病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力，我們假設(shè)時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的易感者數(shù)目與此環(huán)境內(nèi)易感者總數(shù)成正比，比例系數(shù)為, 從而在時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù)（即新病人數(shù)）為.3) t時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)從感染者類移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù)為，從而單位時(shí)間內(nèi)移出者數(shù)量為. 顯然，是單位時(shí)間內(nèi)移出者在病人中所占的比例，稱為移出率系數(shù)，移出者系數(shù)又稱為恢復(fù)率系數(shù)或簡(jiǎn)稱為恢復(fù)率[1].在以上假設(shè)下，其過(guò)程如圖11所示：RIS 圖11 SIR傳染病基本模型框圖模型是比SIR模型較簡(jiǎn)單粗糙的模型，這個(gè)模型得到了歷史上發(fā)生過(guò)的大規(guī)模的傳染病，傳染病若無(wú)潛伏期，動(dòng)力學(xué)模型可表示為：SI模型，患病后難以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢復(fù)者不具有免疫力；SIR模型，患病者治愈后可獲得終身免疫力；SIRS模型，病人康復(fù)后有暫時(shí)的免疫力，在三類人群中增加一類，感染而未發(fā)病者（Exposed），、疫苗接種、隔離以及密度制約、年齡結(jié)構(gòu)等更為復(fù)雜的因素，模型的參數(shù)和復(fù)雜程度也將增加. 相關(guān)定義和理論考慮自治系統(tǒng)： （21）其中.設(shè)是一開(kāi)子集,若(21)的軌線有全導(dǎo)數(shù)： 則稱V是系統(tǒng)（21）的Lyapunov函數(shù). Lyapunov定理 設(shè)方程,當(dāng)時(shí), 在原點(diǎn)臨域內(nèi)解存在且唯一，如果在原點(diǎn)臨域存在一個(gè)正（負(fù)）定函數(shù)它沿著解得全導(dǎo)數(shù) 是常負(fù)（常正）或恒等于零，這里列出Hurwitz準(zhǔn)則.它給出特征方程根由負(fù)實(shí)部的充分必要條件. Hurwitz 判據(jù) 考慮多項(xiàng)式方程，其中.作Hurwitz行列式 上式延伸得：(1) 所有特征根具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是，所有的Hurwitz行列式的值大于零，既(2) 所有特征根具有負(fù)實(shí)部的必要條件是，特征方程的所有系數(shù). 假設(shè)A是一個(gè)nn常數(shù)矩陣，使得關(guān)于u的線性代數(shù)方程組 (22)具有非零解的常數(shù)稱為A的一個(gè)特征值.（22）的對(duì)應(yīng)于任一特征值的非零解成為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.N次多項(xiàng)式稱為A的特征多項(xiàng)式，n次代數(shù)方程 (23)稱為A的特征方程. 廣義Jacobi矩陣是指如下矩陣形式： (24) 其中，.Lasalle不變?cè)碓O(shè)D是一有界閉集，從D內(nèi)出發(fā)的自治統(tǒng)： (25)的解(停留在D中)若存在,具有一節(jié)偏導(dǎo)數(shù)，使得,又設(shè)是最大不變集，則當(dāng)時(shí)，有，特別的，若則(25)式得平凡解是漸近穩(wěn)定的. 考慮n階常系數(shù)線性微分方程組 (26)其中為方程組(16)的系數(shù)矩陣Ａ的特征方程 (27)若特征方程(27)的根均具有負(fù)實(shí)部，則方程組(26)(27)具有正實(shí)部的根，則方程組(26)的零解是不穩(wěn)定的，若特征方程(27)沒(méi)有正實(shí)部的根，但有零根和零實(shí)部的根，則方程組(26)的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定,這樣看零根或具零實(shí)部的根其初級(jí)因子的次數(shù)是否等于1而定.定義 設(shè)f是一個(gè)實(shí)對(duì)稱雙線性函數(shù)，而且對(duì)任意非零向量，則稱f是負(fù)定的.lipschitz條件若存在常數(shù)K,使得對(duì)定義域D的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)均有：成立，則稱在D上滿足lipschitz條件.定理及推論 比卡存在和唯一性定理設(shè)初值問(wèn)題其中，在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)，而且對(duì)滿足lipschitz條件，則(F)在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，其中 由上述定理我們可以得到一下推論：滿足局部Lipschitz條件的的解在大范圍上存在且唯一.
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